Дерево Піфагора: Фрактал, Побудований на Основі Прямокутного Трикутника

A fractal built from a right triangle

The Pythagoras tree is a plane fractal invented by Dutch mathematics teacher Albert E. Bosman in 1942. It starts from a single square. On top of that square, a right triangle is erected whose hypotenuse is exactly the square's top edge; two new, smaller squares are then built on the triangle's other two sides. Repeat that same construction on each new square, forever, and you get a tree-like branching fractal — and it is called the Pythagoras tree because the areas of the two child squares always add up to exactly the area of the parent square, which is simply the Pythagorean theorem, a² + b² = c², read as a statement about squares built on a triangle's sides rather than just their lengths.

Рекурсія крок за кроком

Якщо правий кут трикутника розташований на відстані від краю верхнього боку квадрата (контролюється параметром кута), то два дочірні квадрати матимуть різну величину — менший і більший, що є причиною асиметричного, «з вітру» вигляду класичної піраміди Піфагора, на відміну від ідеальної симетрії. При 45° обидва дочірні квадрати рівні, і фрактал росте як симметричний подвійний спіраль замість того, щоб бути симетричним.

grow(square, depth): if depth == 0: return triangle = right_triangle_on_top_edge(square, angle) left_sq = square_on_side(triangle, side="left") right_sq = square_on_side(triangle, side="right") draw(square) grow(left_sq, depth - 1) grow(right_sq, depth - 1) Оскільки обидва дочірні квадрати зменшуються відносно батьківського (кожна сторона масштабується за допомогою синуса та косинуса кута фрактала), загальна площа, що додається на кожному рівні глибини, геометрично зменшується. Це означає, що нескінченне дерево — глибина йде до нескінченості — все ще займає кінцеву площу в цілому, що є характерною рисою багатьох класичних фракталів: нескінченна деталізація, упакована в обмежену область. Приблизно на 45° ця межа обчислюється як точно вдвічі більша за площу початкового квадрата, один із більш чистих результатів у розваг-фрактальній геометрії.

grow(square, depth):
    if depth == 0: return
    triangle = right_triangle_on_top_edge(square, angle)
    left_sq  = square_on_side(triangle, side="left")
    right_sq = square_on_side(triangle, side="right")
    draw(square)
    grow(left_sq,  depth - 1)
    grow(right_sq, depth - 1)

Глибина, нахил та чому це виглядає органічно

Глибина контролює кількість рекурсивних рівнів, які малюються — кожен додатковий рівень приблизно подвоює кількість квадратів на екрані, тому глибина 10 вже означає понад тисячу нових квадратів на найдетальнішому рівні само по собі, що й пояснює, чому більшість реалізацій обмежують глибину десь від 12 до 14, перш ніж квадрати стануть меншими за піксель і додавання більше не змінює зображення. Невелика випадкова тремтіння, додане до кута на кожному рекурсивному виклику — це поширення, яке часто використовується за межами оригінального строгого буття Босмана — те, що робить згенеровані дерева Піфагора виглядати як справжні розгалужені рослини, а не жорстку, механічно повторювану форму; справжні дерева, папоротники та річкові дельти показують цю саму статистичну самоспівідповідність, де кожен гілка нагадує ціле, але ніколи точно.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Pythagoras Tree і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.