Пойнерів Диск: Нескінченність Всередині Обмеженого Круга

Диск Пуанкаре: Модель гіперболічної геометрії

Диск Пуанкаре – це модель гіперболічної геометрії — самозбіжна геометрія, де порушується паралельний постулат, і через будь-яку точку, що не лежить на заданій прямій, проходить нескінченна кількість ліній, які ніколи не перетинаються – повністю запакований у відкритий одиничний диск. Точки гіперболічного простору є звичайними точками, строго всередині межі диска; сама межа кола представляє точки «нескінченності» і ніколи не досягається. Ключем до успіху є неевклідова метрика: відстані поблизу межі значно розтягуються порівняно з відстанями поблизу центру, щоб гіперболічна пряма справді нескінченної довжини вмістилася в області кінцевої евклідової площі, кінці якої ніколи не торкаються краю.

Лінійні елементи, що здаються викривленими

Гіперболічна лінія — геодезичний, найкоротший шлях між двома точками — малюється в диску Пуанкарова як діаметр диска або дуга кола, яка зустрічається з колом межі під кутом 90°. Це умова перпендикулярності не є просто художнім вибором; вона безпосередньо випливає з основної конформної картини (модель зберігає кути, хоча й не відстані чи форми прямих ліній, відносно звичайної евклідової геометрії). Дві геодезичні лінії, які здаються розходяться один від одного на плоскій евклідівській картинці, в межах власної гіперболічної метрики є абсолютно прямими — будь-який видимий викривлення є наслідком перегляду нескінченного неевклідового простору через кінцеве евклідове вікно.

Мобіусівські перетворення будують геодезичні лінії

Обчислення гіперболічної геодезичної через дві задані точки зводиться до класичної геометрії інверсії кола: віддзеркалюйте одну з двох точок через одиничне коло (інвертуйте її, відправляючи точку на відстані r від центру до точки на тій самій лінії на відстані 1/r), потім єдина європейська коло, що проходить через дві початкові точки та цю інвертовану точку — обмежена своїм дугою всередині диска — це геодезична, і вона автоматично зустрічається з межею під прямим кутом. Ізометри (перетворення, зберігаючі відстань) всього диску є точно мобіусівськими перетвореннями, які відображають одиничний диск у себе, що також пояснює, чому гіперболічні візерунки, намальовані в цій моделі — наприклад, знамениті «вирізки з кола» М. К. Ешер, показані конструкцію математиком Х. С. М. Коксером — завжди здаються стискатися до межі: всі плитки є конгруентними у справжній гіперболічній метриці, і лише спотворення відстаней моделі робить їх меншими біля краю.

geodesic through points P, Q inside the unit disk:
1. invert P across the unit circle:  P' = P / |P|^2   (maps P to distance 1/|P| from centre)
2. the Euclidean circle through P, Q, P'  (or the diameter, if P, Q, O are colinear)
   is the hyperbolic geodesic -- and it meets the unit circle at exactly 90 deg

Трикутники, внутрішні кути яких завжди менше 180 градусів

Найбільш помітна відмінність від евклідової геометрії в моделі полягає в тому, що трикутник гіперболоїда завжди має суму внутрішніх кутів меншу за 180° — ніколи не дорівнює їй. Ця різниця називається кутовим дефектом і прямо пропорційна гіперболічній площі трикутника (знову ж таки, теорема Гаусса-Бонне, яка регулює кривизну торої в супутній статті): більші гіперболоїдні трикутники мають більший дефект, наближаючись до межевого дефекту 180° для ідеального трикутника, вершини якого лежать точно на межі при кінці уявлення. Цей дегенерований ідеальний трикутник, незважаючи на те, що всі його три вершини знаходяться безмежно далеко один від одного в гіперболічній метриці, все ще має суворо фінітну гіперболічну площу — один із більш вражаючих фактів гіперболічної геометрії, який ви дізнаєтеся, коли попрацюєте з моделлю деякий час.

Чому саме цей модел, з багатьох

Poїнкер диск є одним із щонайменше чотирьох стандартних моделей однієї й тієї ж гіперплощини — поряд із Поїнкер півплощиною, Клієрів диском та гіперболоїдною моделлю — і всі вони математично еквівалентні, пов’язані за допомогою явних координатних перетворень, відрізняються лише тим, які властивості вони зберігають візуально. Особлива перевага Поїнкер диска полягає в тому, що він гомоморфний: кути, виміряні на малюнку, точно відповідають справжнім гіперболічним кутам, тому кола у гіперплощинi зображуються як справжні (якщо вони не центровані) евклідіві кола, і це модель обрана для будь-чого, що покладається на інтуїцію, яка зберігає кути, від візерунків Ешера до візуалізації межі на кінці нескінченності певних фізичних та космологічних моделей.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Poincare Disk (Hyperbolic Geometry) і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.