Течія Гаген-Піскує: Чому радіус труби визначає все

Постійний ламинарний потік у прямій трубі

Якщо повільно пропускати через пряму циліндричну трубу в'язке середовище, потік стабілізується у вигляді потоку Гейгера-Піскуї, що характеризується гладкими концентричними шарами, які ковзають одна об одну без змішування, названий на честь Гофріга Хейгена та Жана Леонарда Марії Піскуї, які незалежно вивели зв’язок між швидкістю потоку та падінням тиску в 1840-х роках. Збалансування тисків, що штовхають рідину вперед, проти сил тертя, що чинять опір на кожному радіусі, дає диференціальне рівняння, розв’язком якого є чиста парабола: швидкість максимальна на центральній лінії та плавно спадає до нуля на стінці, де умова відсутності тертя фіксує рідину у безпосередній контакт з трубою.

v(r) = (ΔP / 4μL) · (R² - r²) ΔP = падіння тиску вздовж труби μ = динамічна в'язкість L = довжина труби R = радіус труби, r = відстань від центру v(0) = ΔP·R² / 4μL (центральна лінія, максимальна) v(R) = 0 (стінка, без тертя)

v(r) = (ΔP / 4μL) · (R² - r²)

ΔP = pressure drop along the pipe    μ = dynamic viscosity
L  = pipe length                     R = pipe radius, r = distance from centre
v(0) = ΔP·R² / 4μL   (centreline, maximum)
v(R) = 0              (wall, no-slip)

Четверта степеня закону

Q = (π·ΔP·R⁴) / (8μL)

Подволення радіуса вдвічі → збільшення швидкості потоку в 16 разів (2⁴)

Скорочення радіуса вдвічі → зменшення швидкості потоку до 1/16

Це залежно від R⁴ є найважливішим числом у результаті. Воно пояснює, чому частково засмічена артерія або трохи замалий діаметр труби значно більше обмежують потік, ніж свідчить її процентне звуження, чому кровоносні судини, які розширюються на 20%, переносять приблизно вдвічі більше крові, і чому інженери-сантехніки та HVAC-інженери перебільшують розмір труб замість того, щоб покладатися на вузький маржа.

Q = (π·ΔP·R⁴) / (8μL)

double the radius  → flow rate increases 16×  (2⁴)
halve the radius   → flow rate drops to 1/16

Коли парабола руйнується: турбулентність

Потік Гагена-Пуїсселя є дійсним лише тоді, коли потік залишається ламинарним — шаруватим та упорядкованим. Чи це відбувається визначається безрозмірним числом Рейнольдса, відношення інерційних до в’язких сил:

Re = ρ·v·D / μ (ρ = густина, v = середній приріст швидкості, D = діаметр труби, μ = в’язкість) Re ~4000 турбулентний → хаотичні вихори, більш плоский середній за часом профіль швидкості 2300-4000 перехідний, нестабільний, важко передбачити Нижче приблизно Re ≈ 2300 в’язкість пригнічує будь-яке збудження до того, як воно може розвинутися, і потік ламинарний. Вище приблизно Re ≈ 4000 інерційні сили домінують, невеликі збурення збільшуються в турбулентні вихори, і гладка парабола замінюється значно більш плоским, хаотичним середнім за часом профіль швидкості зі значним змішуванням по всій поперечній площі. У турбулентному режимі тиск втрата більше не масштабується лінійно з потоком — він масштабується ближче до квадрату швидкості та різко зростають витрати на перекачування.

Re = ρ·v·D / μ      (ρ = density, v = mean velocity, D = pipe diameter, μ = viscosity)

Re < ~2300   laminar    → clean parabolic profile, Poiseuille law holds
Re > ~4000   turbulent  → chaotic eddies, flatter time-averaged profile
2300-4000     transitional, unstable, hard to predict

Розташування цього показується

Однакові четверті степені застосовуються до трьох дуже різних систем, побудованих на основі однієї й тієї ж фізики: кровообіг у артеріолах і капілярах (де тіло активно контролює діаметр судин за допомогою гладкому м'язу для більш ефективного модуляції потоку крові, ніж зміна тиску), мікрофлюїдні чіпи в пристроях «лабораторія на чіпсі», де ширини каналів у десятки мікрометрів роблять сил тертя домінуючими (кім’юне число Рено все нижче за 1), та промислові труби для води, олії та газу, де інженери використовують рівняння Гагена-Пуазеля і, для турбулентного потоку, емпіричне рівняння Дарсі-Вейсбаха для визначення розміру насосів.

Вязкість сама по собі залежить від температури — більшість рідин стають більш рідкими при підвищенні температури, приблизно відповідно до експоненційного закону — тому швидкість потоку та потужність насосу в трубі змінюються з температурою навіть за постійного тиску, що пояснює, чому симуляція на цій сторінці дозволяє незалежно змінювати в’язкість від тиску та радіуса: це єдильний параметр, який оператори можуть змінити без впливу на обладнання.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Pipe Flow Profiles і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.