Фізика кристалів та дифракція

🔬 Структура кристалів

Браве ґратка

Набір точок R = n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃. Три базисні вектори aᵢ, параметри ґратниці a = |a₁|, b = |a₂|, c = |a₃| та кути α, β, γ. 14 типів у 3D: кубічна, тетрагональна, орторомбічна та ін.

Структурна одиниця

Мінімальна періодична одиниця кристалу. Базис: позиції атомів у структурній одиниці. Рентгенівський структурний фактор: F = Σ fⱼ·exp(iG·rⱼ), де G = вектор зворотної ґратки.

Кубічні структури

Проста кубічна (SC): одна точка на структурну одиницю. Центрована на тілах (BCC): дві точки. Центрована на гранях (FCC): чотири точки. FCC має найбільшу густину упаковки η = 0.74.

Гексагональна структура

HCP (hexagonal close-packed): сфери в найщільнішій упаковці. Координаційне число: 12. Структура Zn, Mg, Ti.

📡 Дифракція

Закон Брегга

λ = 2d·sin(θ), де d = міжплощинна відстань, θ = кут Брегга, λ = довжина хвилі. Максимуми інтенсивності при кутах Брегга. Рентгенівська дифракція для аналізу структури.

Зворотна ґратка

G = h·b₁ + k·b₂ + l·b₃, де bᵢ = зворотні базисні вектори. Умова Лаве: Δk = G. Індекси (hkl) для площин. d = 2π/|G|.

Електронна дифракція

λ_{electron} = h/p для високоенергетичних електронів. TEM (Transmission Electron Microscopy), LEED (Low Energy Electron Diffraction) для поверхневих структур. Атомна резолюція.

Нейтронна дифракція

λ ≈ 1-2 Å для теплових нейтронів. Чутливість до ядер та магнітних моментів. Визначення магнітної структури, водню.

🌊 Динаміка решітки

Фонони

Квазічастки коливань кристалічної решітки. Енергія E = ℏω, імпульс p = ℏk. Дисперсія ω(k) залежить від кристалічної структури. Акустичні та оптичні фонони.

Акустичні фонони

Коливання атомів у фазі (звукові хвилі). Поперечні (TA) та поздовжні (LA). Дисперсія: ω ≈ v·k для малих k, v = швидкість звуку.

Оптичні фонони

Коливання атомів у протифазі для двоелементних кристалів. Можливість поглинання електромагнітного випромінювання (ІЧ). Дисперсія: ω ≈ ω₀ (константа для малих k).

Теплоємність

Теорія Дебая: C_v ~ T³ для низьких температур (T << Θ_D), C_v ≈ 3R для високих. Θ_D = температура Дебая. Густина станів D(ω) ~ ω² для акустичних фононів.

🔍 Дефекти кристалів

Вакансії

Відсутні атоми в ґратиці. Концентрація n_v = N·exp(-E_v/kT), де E_v ≈ 1 eV для металів. Збільшення ентропії при підвищенні температури.

Інтерстиції

Атоми в проміжних позиціях. Менша концентрація через вищу енергію утворення E_i ≈ 2-3 eV. Вплив на дифузію.

Дислокації

Крайові дислокації (edge): додаткові атомні площини. Винтові (screw): деформація подібна до різьблення. Вплив на пластичність: рухливість дислокацій.

Межі зерен

Границі між різними областями (зернами). Висока щільність дефектів. Вплив на міцність, дифузію, корозію.

⚡ Фізичні властивості

Механічні властивості

Модуль Юнга E, модуль сдвигу G, модуль об'єму K. Залежність від структури та дефектів. Анізотропія: різні властивості в різних напрямках.

Теплові властивості

Теплопровідність κ = (1/3)·C_v·v·l, де l = середня довжина вільного пробігу. Дебай моделі для теплоємності C_v. Тепловий розширення: коефіцієнт α.

Електричні властивості

Провідність σ залежить від дефектів (вакансії, дислокації). Легування змінює концентрацію носіїв. Теплова генерація електрон-діркових пар.

Магнітні властивості

Феромагнетики, антиферомагнетики, пірамагнетики. Обмінна взаємодія, доменна структура. Крива магнітозупинення.

🏭 Застосування

Матеріалознавство

Вирощування монокристалів, легування для зміни властивостей. Напівпровідники (Si, GaAs), метали, кераміки. Контроль дефектів.

Рентгенівська структурна аналітика

Визначення атомних позицій, міжплощинних відстаней, параметрів ґратниці. Методи рентгенівської структурної аналітики: Rietveld refinement, Patterson method.

Мікроелектроніка

Si монокристали для MOSFET, дефекти впливають на продуктивність. Квантові ями, quantum dots для оптикоелектроніки.

Металургія

Дислокації для пластичності, межа зерен для міцності. Зміцнення: тверданість, старіння. Фазові переходи.

📊 Графіки та діаграми

Закон Брегга

λ = 2d·sin(θ):

Для Cu Kα (λ ≈ 1.54 Å), d ≈ 1-10 Å: θ ≈ 5-45°. Рентгенівська структурна аналітика для визначення структури.

Дисперсія фононів

ω(k) для акустичних та оптичних:

Максимальна частота ω_max при k = π/a (край зони Бріллюена). Густина станів D(ω) ~ ω² для акустичних фононів.

Максимум інтенсивності при: θ = arcsin(λ/(2d)) Де d = міжплощинна відстань λ = довжина хвилі рентгенівського випромінювання

🧪 Практичні приклади

Приклад 1: Si структура

Діамантна структура (кубічна). Координаційне число: 4. E_g = 1.12 eV. Монокристали для MOSFET. Концентрація вакансій n_v ≈ 10¹⁰ см⁻³ при T = 900 K.

Приклад 2: Рентгенівська дифракція NaCl

FCC структура з базисом Na⁺ та Cl⁻. Брегга кути для (100), (110), (111) площин. d_{111} ≈ 2.82 Å для λ = 1.54 Å (Cu Kα).

Приклад 3: Фонони в GaAs

Оптична частота ω_LO ≈ 36 meV ≈ 8.7×10¹² rad/s. Інфрачервона спектроскопія: λ ≈ 35 мкм. Теплоємність: Θ_D ≈ 344 K.

Приклад 4: Дислокації у сталі

Щільність дислокацій ρ ≈ 10¹²-10¹⁵ м⁻². Вплив на пластичність: σ_y ≈ μ·b·√ρ, де μ = модуль зсуву, b = вектор Бюргерса. Зміцнення роботою.

© 2025 Науковий Симулятор. Всі права захищені.

Фізика кристалів: періодичні структури та їх властивості

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте SPH Fluid і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.