Фізика електронів в твердих тілах

🔬 Зонна теорія

Періодичний потенціал

Електрони взаємодіють з періодичним потенціалом кристала V(r+R) = V(r). Хвильова функція Блоха: ψ_k(r) = u_k(r)·exp(ikr). k = хвильовий вектор у зоні Бріллюена.

Зона Бріллюена

Wigner-Seitz комірка в k-просторі. Границі зони: k = ±π/a. Дисперсія E(k): параболічна для вільних електронів, спотворена близько границь зони через взаємодію з потенціалом.

Енергетичні зони

Зона провідності (conduction band), валентна зона (valence band), зона забороненої зони (band gap E_g). Метали: частково заповнена зона. Ізолятори: E_g > 5 eV. Напівпровідники: 0.5-3 eV.

Густина станів D(E)

Кількість станів на одиницю енергії. Для 3D параболічної дисперсії: D(E) ~ √(E - E_c). Інтеграція по зоні дає концентацію носіїв. Енергія Фермі E_F: межа заповнення станів.

⚡ Ефективна маса та дірки

Ефективна маса

m* = ℏ²/(d²E/dk²). Залежить від кривизни дисперсії E(k). m* < m_e для легких електронів (GaAs), m* > m_e для важких (Si). Впливає на рухливість μ = eτ/m*.

Дірки

Відсутні електрони в валентній зоні. Енергія E_h = -E_e, k_h = -k_e. Ефективна маса дірки m*_h = -m*_e (у валентній зоні). Дірки рухаються як позитивні заряди.

Двотактність

Рівність густини станів для електронів та дірок D_e(E) = D_h(E) у цілому кристалі. Енергія Фермі E_F = (E_c + E_v)/2 для власного напівпровідника.

Валентні та зовнішні орбіталі

Валентна зона: s-, p- орбіталі, донори (n-тип). Зона провідності: d-, f- орбіталі, акцептори (p-тип). Концентація легування впливає на E_F.

🔬 Металічна поведінка

Провідність

σ = ne²τ/m*. Концентрація носіїв n залежить від температури для напівпровідників, не залежить для металів. Час релаксації τ зменшується з температурою.

Температурна залежність

Для чистих металів: σ(T) ~ T⁻¹. ρ(T) ~ T (опір збільшується). Для сплавів: домінує розсіювання на домішках. Для напівпровідників: σ ~ exp(-E_g/2kT).

Ефект Холла

V_H = -R_H·I·B/d. Коефіцієнт Холла R_H = -1/(ne) для електронів, R_H = +1/(pe) для дірок. Використовується для визначення знаку носіїв.

Надпровідність

БКШ теорія: парування електронів (Cooper pairs). Температура переходу T_c. Мейснеровський ефект: виключення магнітного поля. Квантова індукція.

💎 Напівпровідники

Власні напівпровідники

Чисті матеріали: n_i = n_e = n_h. Концентрація n_i ~ exp(-E_g/2kT). E_g: Si (1.12 eV), Ge (0.67 eV), GaAs (1.43 eV), InAs (0.36 eV). Електрон-діркова генерація.

Леговані напівпровідники

N-тип: донори (P в Si), n = N_d. P-тип: акцептори (B в Si), p = N_a. Лакон-нейманівський закон: n·p = n_i². Енергія Фермі зміщується.

Р-n перехід

Внутрішнє поле, деплет-шуар. Прямий зсув V > 0, зворотний V < 0. ВАХ: I = I_0·(exp(eV/kT)-1). Діоди, транзистори, сонячні панелі.

Електрон-діркова рекомбінація

Радіативна (фотона), нерадіативна (фонони). Час життя τ_rec для рекомбінації. LED, лазери, фотовіддача. Світловіддача: квантова ефективність η.

🔬 Спінтроніка

Спінова поляризація

Поляризація спіну електронів. Струм спіну J_s, спіновий струм проти звичайного. Спинові залежні ефекти (GMR, TMR). Спинорбітальна взаємодія.

Гігантський магнітоопір (GMR)

Зміна опору в спінових вентилях. Паралельна спін-конфігурація: низький опір. Антипаралельна: високий. Застосування: MRAM, діагностика.

Спинові хвилі

Магнони: квазічастки коливань спінів. Дисперсія E(k), температурна залежність. Тепловий магнонний струм. Екситон-магнон взаємодія.

Магнітні домени

🌀 Топологічні стани

Топологічні ізолятори

Діелектричний bulk, металічні стани на поверхні (Bi₂Se₃, Bi₂Te₃). Зворотна спінова структура (spin-momentum locking). Захисті стани від розсіювання.

Квантова аномальна хол-ефективність (QAHE)

C = 1 для топологічного стану. Квантова хол-опір R_H = h/(Ce²). Відсутність магнітного поля. Реалізація: Cr-легований (Bi,Sb)₂Te₃.

Майорана ферміони

Власні античастинки. Реалізація в твердих тілах: топологічні сверхпровідники, конструкції з ферміонними парами. Застосування: квантові комп'ютери (захист від декогеренції).

Вейль та Діраківські ферміони

Лінеаризована дисперсія E(k) = ±v_F|k|. Вейль напівметали: TaAs, NbAs. Діраківські напівметали: Cd₃As₂, Na₃Bi. Висока рухливість, аномальний магнітний опір.

🏭 Застосування

Мікроелектроніка

MOSFET: канал Si/SiO₂, керування шлюзом. Фінітна ефективна довжина каналу для масштабування. High-k dielectrics (HfO₂, ZrO₂) для зменшення товщини.

Оптоелектроніка

LED: рекомбінація в p-n переході. Лазери: населеність станів, коефіцієнт підсилення. Сонячні панелі: генерація електрон-діркових пар.

Квантові комп'ютери

Квантові точки, сверхпровідні qubits, топологічні qubits (Mайорана). Спинові qubits (Si:P, Si/Ge quantum dots). Кохеренція, gate operations.

Енергозберігаючі технології

Спінтроніка: низький потік енергії. Топологічні стани: зменшення розсіювання. High-mobility матеріали: ефективність транзисторів.

📊 Графіки та діаграми

Зонна діаграма

Енергія як функція k:

Границі зони Бріллюена: k = ±π/a. Band gap E_g = E_c - E_v. Енергія Фермі E_F: заповнення станів.

Характеристика p-n переходу

ВАХ для п прямого зсуву V:

Прямий зсув: експоненційна залежність I від V. Зворотний: насичений струм I₀.

Для вільних електронів: E(k) = ℏ²k²/(2m*) Для періодичного потенціалу: E(k) ≈ E_c + ℏ²(k-k₀)²/(2m*) Где E_c = зона провідності, E_v = валентна зона m* = ефективна маса

🧪 Практичні приклади

Приклад 1: Si MOSFET

Канал Si: m* = 0.19 m_e (електрони), 0.16 m_e (дірки). E_g = 1.12 eV. SiO₂ шлюз: товщина d < 2 нм. High-k HfO₂ для d ≈ 1 нм. Індукований канал для V_G > V_th.

Приклад 2: LED GaN

E_g = 3.4 eV (UV). Електрон-діркова рекомбінація: λ = hc/E_g ≈ 365 нм. Quantum wells: контроль E_g. Квантова ефективність η > 80%.

Приклад 3: Topological Insulator Bi₂Se₃

Діелектричний bulk, металічні стани на поверхні з дисперсією E = ±v_F|k|. Spin-momentum locking. Захисті стани від розсіювання. Час кохеренції > 100 ns.

Приклад 4: GMR читач для HDD

Спінові вентилі Fe/Cu/Fe. Паралельна спін-конфігурація: ρ ≈ 10⁻⁶ Ωcm. Антипаралельна: ρ ≈ 2×10⁻⁵ Ωcm. GMR ≈ 20%. Застосування: датчики жест-дисків.

© 2025 Науковий Симулятор. Всі права захищені.

Фізика електронів: від квантових точок до bulk матеріалів

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте SPH Fluid і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.