Фазові Переходи: Параметри У порядку, Модель Ізінга та Критичні Показатели

Класифікація Еренняста: першого та другого порядку фазових переходів

Пауль Ереньєст класифікував фазові переходи в 1933 році за допомогою найнижчого похідного від функції свободи Гіббса G(T,P), яке є неперервним на переході. У першого порядку фазового переходу — танення льоду, кипіння води — G залишається неперервним, але його перші похідні (ентропія і об'єм) стрибають, а система поглинає або виділяє пізнову теплоту при фіксованій температурі. У другого порядку (неперіодичного) переходу — феромагнітна точка Кюрі, перехід нульового поля до надпровідного стану — G і його перші похідні залишаються неперервними, але друге похідне, наприклад, теплоємність, відхиляється. Немає пізної теплоти; зміна відбувається поступово. Лінія рідкий-газовий води закінчується критичною точкою (T_c = 374.14 °C, P_c = 220.64 бар), де повністю зникає першого порядку розрізнення між рідиною та газом.

Параметр порядку та спонтанне порушення симетрії

Лев Ланд ау представив параметр порядку ψ у 1937 році для кількісного визначення ступеня упорядкованості фази: нульовий у розлагодженій високотемпературній фазі, ненульовий у впорядкованій низькотемпературній фазі, безперервний при другому порядку переходу та неперервний при першому порядку переході. Для ферромагніту становить симетричний гамільтонарій під обертанням кожного спіну, але нижче T_c система спонтанно обирає один напрямок магнетизації, порушуючи цю симетрію — явище, яке називається спонтанним порушенням симетрії. Коли порушена симетрія є безперервною (як фаза надплинникової хвилі), теорема Голдстона гарантує існування безмасових збурень — спін-хвильок у магнітах, фононів у надплинниках.

Модель 2D Ising та точне рішення Онсагера

Модель Ізинга є найпростішою системою, яка демонструє справжню фазову перехідну поведінку: бінарні спіни σᵢ ∈ {−1,+1} на решітці з гамільним оператором H = −J Σσᵢσⱼ − h Σσᵢ. 1D ланцюг (розв’язаний Ізингом самим у 1925 році) не має переходу при будь-якій температурі T > 0. 2D квадратна решітка відрізняється — точне рішення, отримане Ларсом Онсагером у 1944 році, демонструє справжню критичну температуру:

k_B T_c / J = 2 / ln(1 + √2) ≈ 2.2692 M(T) ~ (1 − T/T_c)^β, β = 1/8 (спроможне магнітне упорядкування) C(T) ~ −ln|1 − T/T_c| (логарифмічне відхилення міцності) Це одна з небагатьох точно розв’язаних моделей статистичної механіки в двох вимірах і залишається знаковим досягненням 20-го століття теоретичної фізики. Нижче T_c решітка спонтанно магнітизується у великі вирівняні домени; вище — тепловий шум дезорганізовує спіни в парамагнітний хаос.

k_B T_c / J = 2 / ln(1 + √2) ≈ 2.2692
M(T)  ~ (1 − T/T_c)^β,  β = 1/8   (spontaneous magnetisation)
C(T)  ~ −ln|1 − T/T_c|             (logarithmic heat-capacity divergence)

Критичні показники та універсальність

Поблизу другої порядку критичної точки термодинамічні величини розбігаються або зникають як степені в зменшеному температурному масштабі t = (T - T_c)/T_c: магнітність M ~ |t|^β, ізмінність χ ~ |t|^(−γ), довжина кореляції ξ ~ |t|^(−ν). Для 2D моделі Ізинга ці показники становлять β = 1/8, γ = 7/4, ν = 1, α = 0 — і дивовижно, ті ж самі показники описують усі системи з однаковим просторовим виміром та симетрією параметру порядку, незалежно від мікроскопічних деталей. Це називається універсальністю: залізо та нікель мають однакові критичні показники як магнети Ізинга 3D класу, незважаючи на дуже різні електронні структури, а критична точка фази рідкопровідності зникає з показниками Ізинга 3D (β ≈ 0.326), хоча вона нічого спільного з магнетизмом. На критичній точці довжина кореляції розбігається і система стає масштабованою на кожному рівні збільшення, — явище, яке видно як безперервні масштабні домени, що називаються критичною опалесценцією.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.