Пенрозове укладання: Аперіодичність та Квазикристали

Порядок без повторення

Звичайне впорядкування, наприклад, квадратна сітка шахівниці, є періодичним: переміщуючи весь малюнок за заданим вектором, він ідеально повертається назад. Пенрозьке впорядкування відмовляється це робити — незалежно від того, як далеко ви його зміщуєте, воно ніколи не збігається з оригіналом. Проте це не випадкове також: воно дотримується жорстких правил відповідності, зазвичай зображених у вигляді кольорових дуг, які визначають, яким чином два форми можуть зустрічатися один на одному по краю. Ця комбінація жорстких місцевих правил із глобальним невідтворюванням називається періодичним безпорядком, і це перевернуло давнє припущення, що впорядкована матерія завжди повинна бути періодичною.

Золотий відношення та пірамиди P3

Найпоширеніший варіант, P3, використовує два ромби: товстий ромб з кутами 72° і 108°, та тонкий ромб з кутами 36° і 144° — обидва множники 36° = π/5, фундаментального кута регулярного п’ятикутника. Під час розширення Penrose-у, відношення товстих до тонких плиток збігається з золотим відношенням:

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618 Правило інфляції (кожен крок масштабує нові плитки в 1/φ): товстий ромб → 2 товсті + 1 тонкий тонкий ромб → 1 товстий + 1 тонкий Оскільки φ є ірраціональним, відношення товстого до тонкого ніколи не встановить цілісного числового співвідношення — і ця ірраціональність точно блокує плитування від будь-якої періодичності. Цей симулятор генерує плитки P3 за допомогою цього правила інфляції, дозволяючи вам проходити через послідовні рівні інфляції та спостерігати за підтримкою 5-кратної симетрії на кожному масштабі.

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618

Deflation rule (each step scales new tiles by 1/φ):
  thick rhombus → 2 thick + 1 thin
  thin  rhombus → 1 thick + 1 thin

Вихід з кристалічної обмеженості

Більше століття кристалографи покладалися на теорему про кристалічну обмеженість: періодична структура в двох або трьох вимірах може мати лише обертальну симетрію порядку 1, 2, 3, 4 або 6 — п’ятинкратна симетрія вважалася неможливою для будь-якої упорядкованої твердої речовини, оскільки регулярні пентагони не можуть укладатися на площині без проміжків. Оскільки Пенрозові впорядкування є аперидними, а не періодичними, ця теорема просто не застосовується до них, і вони радісно демонструють приблизну п’яти- та десятикратну обертальну симетрію на всій структурі.

Від математики до Нобелівської премії

У 1982 році фізика Дан Шехтман вивчив швидко охолоджений сплав алюмінію та марганцю і знайшов дифракційні зображення електронів з чіткими плямами, розташованими у вигляді ясно вираженої десятикратної симетрії — порядку довгого радіусу, який, як вважалося, заборонений. Результат був настільки революційним, що його, мовляв, попросили залишити дослідницьку групу. Він був задокументований: дифракційний патерн був сигнатурою квазікристала — тривимірного фізичного аналога пентосолі. У 2011 році Шехтман отримав Нобелівську премію з хімії, і Міжнародна кристалографічна асоціація розширила визначення кристала до будь-якого твердого тіла з дискретним дифракційним патерном, періодичним або ні.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.