📊 Що таке непараметрична статистика?

Непараметрична статистика — це розділ статистики, який використовує методи, що не роблять припущень про конкретний розподіл даних. На відміну від параметричних методів, які припускають, що дані слідують певному розподілу (наприклад, нормальному), непараметричні методи базуються на рангах, знаках або інших порядкових властивостях даних. Це робить їх більш робастними до порушень припущень та придатними для аналізу даних з невідомим розподілом.

🎯 Основні розділи непараметричної статистики:

Рангові тести - тести на основі рангів

Тести знаків - тести на основі знаків

Тест Манна-Уїтні - порівняння двох груп

Тест Краскела-Уолліса - порівняння кількох груп

Непараметричні оцінки - оцінки без припущень

📊 Рангові тести

1. Основні поняття

Тести, що базуються на рангах спостережень:

📊 Ранги

Визначення:

Властивості:

📊 Тест Вілкоксона

Застосування: • Порівняння двох залежних вибірок • Альтернатива t-тесту • Ранги різниць • Властивості

Статистика: • W = Σ R_i × sign(d_i) • R_i - ранги |d_i| • d_i - різниці • Приклади

📊 Тест Манна-Уїтні

Застосування: • Порівняння двох незалежних вибірок • Альтернатива t-тесту • Ранги об'єднаної вибірки • Властивості

Статистика: • U = Σ R_i - n₁(n₁+1)/2 • R_i - ранги першої групи • n₁ - розмір першої групи • Приклади

📊 Тест Краскела-Уолліса

Застосування: • Порівняння k > 2 груп • Альтернатива ANOVA • Ранги об'єднаної вибірки • Властивості

Статистика: • H = (12/N(N+1))Σ n_i(R̄_i - R̄)² • R̄_i - середній ранг групи i • n_i - розмір групи i • Приклади

2. Переваги рангових тестів

Чому використовувати рангові тести:

📊 Робастність

Переваги: • Нечутливість до викидів • Стабільність результатів • Надійність • Властивості

Властивості: • Витримують викиди • Стабільні результати • Надійні висновки • Приклади

📊 Універсальність

Переваги: • Без припущень про розподіл • Застосування до будь-яких даних • Гнучкість • Властивості

Властивості: • Немає обмежень • Широке застосування • Простота використання • Приклади

📊 Ефективність

Переваги: • Висока ефективність • Порівнянна з параметричними • Мінімальні втрати • Властивості

Властивості: • Ефективність > 95% • Порівнянні результати • Мінімальні втрати потужності • Приклади

R_i = кількість спостережень ≤ x_i

📊 Тести знаків

1. Простий тест знаків

Тести, що базуються на знаках спостережень:

📊 Тест знаків

Гіпотеза:

Статистика:

📊 Простий тест знаків

Застосування: • Тестування медіани • Односторонні альтернативи • Простота • Властивості

Статистика: • S ~ Binomial(n, 0.5) • n - розмір вибірки • Біноміальний розподіл • Приклади

📊 Тест знаків для пар

Застосування: • Порівняння залежних пар • До/після вимірювання • Різниці в парах • Властивості

Статистика: • S = кількість позитивних різниць • S ~ Binomial(n, 0.5) • n - кількість ненульових різниць • Приклади

📊 Тест знаків з рангами

Застосування: • Комбінація знаків та рангів • Тест Вілкоксона • Більша потужність • Властивості

Статистика: • W = Σ R_i × sign(d_i) • R_i - ранги |d_i| • d_i - різниці • Приклади

2. Розширені тести знаків

Складніші варіанти тестів знаків:

📊 Тест знаків для медіани

Гіпотеза: • H₀: median = m₀ • H₁: median ≠ m₀ • Двобічна альтернатива • Властивості

Статистика: • S = кількість X_i > m₀ • S ~ Binomial(n, 0.5) • n - розмір вибірки • Приклади

📊 Тест знаків для квантилів

Гіпотеза: • H₀: q_p = q₀ • H₁: q_p ≠ q₀ • q_p - p-квантиль • Властивості

Статистика: • S = кількість X_i > q₀ • S ~ Binomial(n, 1-p) • n - розмір вибірки • Приклади

📊 Тест знаків для пропорцій

Гіпотеза: • H₀: P(X > m₀) = p₀ • H₁: P(X > m₀) ≠ p₀ • p₀ - задана пропорція • Властивості

Статистика: • S = кількість X_i > m₀ • S ~ Binomial(n, p₀) • n - розмір вибірки • Приклади

H₀: P(X > median) = 0.5

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

📊 Тест Манна-Уїтні

1. Основна процедура

Детальний розгляд тесту Манна-Уїтні:

📊 Тест Манна-Уїтні

Гіпотеза:

Статистика:

📊 Обчислення статистики

Кроки: • 1. Об'єднати дві вибірки • 2. Присвоїти ранги всім спостереженням • 3. Обчислити суму рангів для першої групи • 4. Обчислити U

Формула: • U = R₁ - n₁(n₁+1)/2 • R₁ - сума рангів першої групи • n₁ - розмір першої групи • Приклади

📊 Критичні значення

Малі вибірки: • Таблиці критичних значень • n₁, n₂ ≤ 20 • Точні значення • Властивості

Великі вибірки: • Нормальне наближення • z = (U - μ_U)/σ_U • μ_U = n₁n₂/2 • Приклади

📊 Інтерпретація

Результати: • U < U_crit: відхилити H₀ • U > U_crit: не відхиляти H₀ • p-value < α: відхилити H₀ • Властивості

Зміст: • Відхилення H₀: розподіли різні • Не відхилення H₀: розподіли схожі • Напрямок відмінностей • Приклади

2. Розширення тесту

Модифікації та розширення тесту Манна-Уїтні:

📊 Тест Манна-Уїтні з корекцією

Корекція на зв'язки: • T = Σ(t_i³ - t_i)/12 • t_i - кількість зв'язків • Корекція дисперсії • Властивості

Формула: • σ_U² = n₁n₂(n+1)/12 - T • n = n₁ + n₂ • Скоригована дисперсія • Приклади

📊 Тест Манна-Уїтні для k груп

Розширення: • Тест Краскела-Уолліса • k > 2 груп • Ранги об'єднаної вибірки • Властивості

Статистика: • H = (12/N(N+1))Σ n_i(R̄_i - R̄)² • R̄_i - середній ранг групи i • n_i - розмір групи i • Приклади

📊 Тест Манна-Уїтні з вагами

Взважений тест: • Різні ваги для груп • Корекція на розміри вибірок • Взважена статистика • Властивості

Формула: • U_w = w₁U₁ + w₂U₂ • w₁, w₂ - ваги • U₁, U₂ - статистики • Приклади

H₀: F₁(x) = F₂(x) для всіх x

📊 Тест Краскела-Уолліса

1. Основна процедура

Детальний розгляд тесту Краскела-Уолліса:

📊 Тест Краскела-Уолліса

Гіпотеза:

Статистика:

📊 Обчислення статистики

Кроки: • 1. Об'єднати всі k вибірок • 2. Присвоїти ранги всім спостереженням • 3. Обчислити середні ранги для кожної групи • 4. Обчислити H

Формула: • H = (12/N(N+1))Σ n_i(R̄_i - R̄)² • R̄_i - середній ранг групи i • n_i - розмір групи i • Приклади

📊 Розподіл статистики

Малі вибірки: • Таблиці критичних значень • n_i ≤ 5 • Точні значення • Властивості

Великі вибірки: • χ² розподіл • H ~ χ²(k-1) • k-1 ступенів свободи • Приклади

📊 Post-hoc тести

Після значущого H: • Тест Манна-Уїтні для пар • Корекція Бонферроні • Множинні порівняння • Властивості

Процедура: • 1. Відхилити H₀ • 2. Провести попарні тести • 3. Скоригувати рівень значущості • Приклади

2. Розширення тесту

Модифікації та розширення тесту Краскела-Уолліса:

📊 Тест Краскела-Уолліса з корекцією

Корекція на зв'язки: • T = Σ(t_i³ - t_i)/12 • t_i - кількість зв'язків • Корекція статистики • Властивості

Формула: • H_corr = H/(1 - T/(N³-N)) • T - корекція на зв'язки • N - загальний розмір • Приклади

📊 Тест Краскела-Уолліса для блоків

Блочний дизайн: • Тест Фрідмана • Залежні групи • Блоки спостережень • Властивості

Статистика: • Q = (12/bk(k+1))Σ R_i² - 3b(k+1) • b - кількість блоків • k - кількість груп • Приклади

📊 Тест Краскела-Уолліса з коваріатами

Коваріати: • Контроль змінних • ANCOVA аналог • Корекція на коваріати • Властивості

Метод: • 1. Регресія на коваріати • 2. Залишки • 3. Тест Краскела-Уолліса • Приклади

H₀: F₁(x) = F₂(x) = ... = F_k(x)

📊 Непараметричні оцінки

1. Оцінки щільності

Оцінювання щільності розподілу без припущень:

📊 Непараметрична оцінка щільності

Гістограма:

Ядерна оцінка:

📊 Гістограма

Визначення: • Розбиття на інтервали • Підрахунок частоти • Простота • Властивості

Властивості: • Простота • Швидкість • Негладкість • Приклади

📊 Ядерна оцінка

Визначення: • f̂(x) = (1/nh)Σ K((x-X_i)/h) • K - ядрова функція • h - параметр згладжування • Властивості

Властивості: • Гладкість • Гнучкість • Складність • Приклади

📊 k-найближчих сусідів

Визначення: • f̂(x) = k/(2nd_k(x)) • d_k(x) - відстань до k-го сусіда • k - параметр • Властивості

Властивості: • Адаптивність • Локальність • Складність • Приклади

2. Непараметрична регресія

Регресійний аналіз без припущень про форму:

📊 Локальна регресія

LOESS: • Локальна поліноміальна регресія • Зважена регресія • Адаптивність • Властивості

Властивості: • Адаптивність • Гнучкість • Складність • Приклади

📊 Сплайн-регресія

Сплайни: • Поліноміальні шматки • З'єднання в вузлах • Гладкість • Властивості

Властивості: • Гладкість • Гнучкість • Складність • Приклади

📊 k-найближчих сусідів

k-NN регресія: • Середнє k найближчих сусідів • Локальна оцінка • Простота • Властивості

Властивості: • Простота • Локальність • Негладкість • Приклади

f̂(x) = (1/nh) × кількість спостережень в інтервалі

📊 Застосування

1. Медицина та біологія

Застосування в медичних та біологічних дослідженнях:

📊 Клінічні дослідження

Застосування: • Порівняння груп лікування • Тест Манна-Уїтні • Тест Краскела-Уолліса • Властивості