Фрактал Ньютона: Коли пошук коренів малює фрактал

Знаходження коренів перетворилося на зображення

Метод Ньютона знаходить корінь функції, починаючи з початкового наближення z₀ і повторно наближаючись до точки, де касатна лінія до функції перетинає нуль:

z_{n+1} = z_n − f(z_n) / f'(z_n) Для реальної функції це одна вимірний опис: від хорошого початкового наближення послідовність збігається до близького кореня, приблизно подвоюючи кількість правильних цифр на кожному кроці (квадратична збіжність). Фрактал Ньютона отримується від того, щоб поставити більш небезпечне питання: застосувати точний той самий ітераційний процес з комплексними числами до всього комплексної площини для поліноміалу, такого як f(z) = zⁿ − 1, чиї n коренів є n-ті корені одиниці, рівномірно розташовані навколо одиничного кола. Коліруйте кожну початкову точку z₀, до якої вона збігається, і затінюйте колір залежно від того, скільки ітерацій це потребує. Результат – один із найбільш складних фракталів у математиці, який випливає безпосередньо з шкільного курсу обчислення.

z_{n+1} = z_n − f(z_n) / f'(z_n)

Басейни притягання та чому межа є фракталом

Поруч із кожним коренем метод Ньютона поводиться так, як очікується: велика область початкових точок швидко збігається до цього одного кореня, утворюючи добре виражений басейн притягання. Надалі від коренів історія змінюється. Оскільки f'(z) може бути малим або крок корекції може сильно перевищити, точки, що знаходяться дуже близько одна до одної, можуть бути відправлені в різні корені або потребувати різної кількості ітерацій для збіжності. Набір точок, які знаходяться на межі між двома або більше басейнами — де незначні поправки перевертають те, який корінь ви потрапляєте — це саме той набір із цієї екстремальної чутливості, і для методу Ньютона, застосованого до полінома ступеня трьох або вище, ця межова множина має фрактальну структуру самоподібності на будь-якому масштабі: збільште масштаб будь-якої граничної точки, і ви знайдете менші копії всього закономірності, нескінченний регрес переплетених басейнів.

Чому кубічні та вищі многочлени поводяться складніше, ніж квадратичні

Для квадратичного рівняння, такого як z² − 1, дві області притягнення (басейни) просто є лівий і правий півплощини, розділені прямою лінією — жодного фрактального поведінки тут немає. Проблеми починаються з многочленів третього ступеня. Для рівняння z³ − 1 три області притягнення переплітаються настільки складно, що кожна точка межі між двома областями притягнення також є точкою межі третьої області — вражаюча топологічна властивість, відома як властивість озер Вада: три (або більше) області можуть мати спільний край всюди, не лише в ізольованих точках. Це пояснює, чому зображення виглядає саме так: кольори від усіх трьох коренів сплутуються незалежно від того, наскільки близько ви збільшуєте будь-яку область межі.

Зв’язок із множинами Джулії

Метод Ньютона для поліноміального f є сам собою раціональною картою z ↦ N(z) = z − f(z)/f'(z), і ітерація будь-якої раціональної карти на комплексному плані є точною обстановкою комплексних динамік, що виробляє множини Джулії та дихотомію Фату/Джулії. Коріння f є суперпривабливими фіксованими точками N (відхідний член від N зникає там, що саме пояснює квадратичну збіжність), області притягання є множиною Фату N, а фракційний край між областями є множина Джулії карти N. Ньютонівська фрактал не просто схожа на множину Джулії — вона буквально є множиною Джулії ітераційної функції Ньютона, тому вона поділяє ті самі самоспівідповідність та патології межі, що виробляються множинними ітераціями zⁿ + c, як і множини, пов’язані з Мандельбротом.

Відтворення

Зображення створюється піксель за пікселем: відобразити кожен піксель у комплексне число z₀, ітерувати крок Ньютона протягом певної кількості разів (або доки |f(z)| падає нижче допустимого значення), та записувати, в який корінь сходиться послідовність і скільки кроків це зайняло. Коренева ідентичність обирає відтінок; кількість ітерацій обирає яскравість, що формує тонке обвуглювання, видиме всередині кожного бассейна, оскільки точки, які знаходяться далі від кореня, потребують більше кроків для збіжності. Точки точно на межі Julia-множини технічно ніколи не збігаються, тому реальні впровадження обмежують кількість ітерацій та фарбують все, що не зійшлося до цього часу, з характерним «незбіжним» відтінком, який є темною сіткою на найдрібнішому рівні зображення.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Newton's Fractal і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.