Рівновага Наша: Як Розв’язувати Ігри Руками

Звичайні ігри та домінуючі стратегії

Звичайна гра в нормальній формі — це потрійність G = (N, S, u): набір гравців N, стратегічний набір Sᵢ для кожного гравця та функція виплат uᵢ, яка дає кожному гравцеві виплату для будь-якої комбінації стратегій — для двох гравців це точно матриця винагороди за в’язницький дилеми. Стратегія sᵢ' строго домінує над sᵢ, якщо вона дає суворо більшу виплату проти кожної стратегії, яку може обрати противник. Гравець із стратегією, яка домінує над усіма альтернативам, має домінуючу стратегію — раціональний хід незалежно від того, що роблять інші. У в’язницькій дилемі «Не здаватися» строго домінує над «Здатися» для обох гравців, що й пояснює, чому («Не здаватися», «Не здаватися») є таким стійким прогнозом, незважаючи на те, що це колективно гірше.

Ітеративне виключення та найкращі відповіді

Навіть без єдиної домісурної стратегії, повторне видалення стратегій, які стали марними, може звузити рішення — якщо всі стратегії зводяться до однієї клітинки, ця клітинка є унікальною рівновагою гри. Більш загальним інструментом є функція найкращої відповіді BRᵢ(s₋ᵢ), стратегія, яка максимізує виграш гравця i, враховуючи вибір інших гравців:

BRᵢ(s₋ᵢ) = { sᵢ ∈ Sᵢ : uᵢ(sᵢ,s₋ᵢ) ≥ uᵢ(sᵢ',s₋ᵢ) for all sᵢ' ∈ Sᵢ }

In a matrix: underline each row's best response per column,
underline each column's best response per row.
A cell with BOTH underlined = Nash equilibrium.

Битва статей: дві рівноваги, жодного унікального прогнозу

Пара віддає перевагу різним подіям, але обом подобається бути разом. Виділення найкращих відповідей у виплаті матриці розкриває дві клітинки, де обидва доходи підкреслені — (Опера, Опера) і (Футбол, Футбол) є обома чистими стратегіями Несі. Це справжня проблема координації: модель не має жодного передбачення, точно такий феномен, який вона була побудована для ілюстрації.

Випадковий вибір та принцип безперебійності

Коли не існує чистої рівноваги (гра в копейки, камінь-ножиці), гравці випадково обирають. Ключова техніка – принцип безперебійності: у будь-якій змішаній рівновазі кожен гравець абсолютно байдуже, чи він комбінує певні стратегії, або б відхилився б. Для «Борьби половців», розв’язання умови байдужості гравця 2 дає оптимальну ймовірність змішування p = 2/3 для Опери для гравця 1; з симметрії гравець 2 комбінується до Опери з ймовірністю q = 1/3. Зверніть увагу на неінтуїтивне зауваження: ймовірність змішування кожного гравця встановлюється ймовірністю байдужості іншого гравця, а не власним уподобанням — це деталі, які постійно збивають з пантелику новачків.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.