Матричні перетворення: Читання 2x2 Матриці як Карти

Діагональна матриця 2x2 – це правило переміщення кожної точки одночасно

Діагональна матриця 2x2 не просто множить числа – застосовуючи її до кожної точки (x, y) у площині, вона визначає лінійне перетворення: правило, яке переміщує всю площину одночасно, зберігаючи початкову точку нерухомою та прямі прямою і рівномірно віддаленими. Все, що матриця робить з цілою нескінченною плоскою, повністю визначається тим, куди вона надсилає лише два вектори, (1,0) та (0,1), оскільки будь-яка точка є комбінацією цих двох:

[ a b ] [x] [ a*x + b*y ] [ c d ] [y] = [ c*x + d*y ] Перший стовпець (a,c) – куди потрапляє вектор (1,0) Другий стовпець (b,d) – куди потрапляє вектор (0,1) Читаючи матрицю по стовпцях, можна передбачити все перетворення без множення жодної точки: перший стовпець буквально є новою позицією точки (1,0), а другий стовпець – нова позиція (0,1), і кожна інша точка рухається лінійною інтерполяцією між ними.

[ a  b ] [x]   [ a*x + b*y ]
[ c  d ] [y] = [ c*x + d*y ]

column 1, (a,c)  -- where (1,0) lands
column 2, (b,d)  -- where (0,1) lands

Обертання, масштабування та зсув – це один і той же об'єкт

Кожна звична 2-вимірна трансформація є просто конкретним вибором чотирьох чисел a, b, c, d:

обертання на кут тета: [ cos(тета) -sin(тета) ] [ sin(тета) cos(тета) ]

масштабування (sx, sy): [ sx 0 ] [ 0 sy ]

зсув (горизонтальний): [ 1 k ] [ 0 1 ]

Обертальна матриця має стовпці, які завжди мають довжину одиниці та перпендикулярні один до одного – це алгебраїчний підпис обертання, і тому обертання ніколи не спотворюють форми, лише переорієнтовують їх. Матриці масштабування діагональні, незалежно розтягуючи кожен з осей. Зсув утримує один з осей фіксованим, а пропорційно зміщує інший вздовж нього, перетворюючи квадрат на паралелограм. Об’єднання кількох трансформацій – це просто множення їх матриць разом в порядку застосування.

rotation by angle theta:   [ cos(theta)  -sin(theta) ]
                           [ sin(theta)   cos(theta) ]

scale by (sx, sy):        [ sx  0  ]
                           [ 0   sy ]

shear (horizontal):       [ 1  k ]
                           [ 0  1 ]

Визначник: як матриця змінює площу

Визначник, ad - bc для 2x2 матриці, має точне геометричне значення: він є знаком множника, на який трансформація масштабує площу. Квадрат одиниці відображається на паралелограм, площа якого дорівнює точно |det|. Якщо det = 2, площа будь-якої фігури подвоюється; якщо det = 0,5, площа зменшується вдвічі; і якщо det = 0, трансформація стискає всю площину у розмірності 2 до лінії або точки — повна, незворотна втрата однієї виміру, що й пояснює, чому матриця з визначником 0 не має оберненої.

det = a*d - b*c det > 0 збережено орієнтування (без перевертання), площа масштабується на |det| det знак визначника також важливий: від'ємний визначник означає, що трансформація включає відображення, перевертаючи орієнтацію (за годинниковою стрілкою стає проти годинникової), навіть якщо площа зберігається за величиною.

det = a*d - b*c

det > 0   orientation preserved (no flip), area scaled by |det|
det < 0   orientation flipped (a mirror is hiding in there), area scaled by |det|
det = 0   the plane collapses onto a line or a point -- not invertible

Вектори власної осі: напрямки, які матриця не повертає

Для майже кожного напряму в площині застосування матриці призводить до повороту цього напряму в нове місце. Вектор власної осі – виняток: це напрямок, який матриця лише розтягує або стискає, ніколи не повертаючи його від своєї лінії. Кількість розтягування відповідає власному числу λ:

M v = λ * v v вектор власної осі – напрямок, який не змінюється під дією перетворення (до зміни масштабу) λ власне число – величина, наскільки цей напрям розтягнутий (або інвертований, якщо від’ємне). Для чистого зсуву один вектор власної осі спрямований вздовж фіксованої осі (власне число 1, незмінне), і існує лише одна незалежна власна орієнтація. Для чистої поворотної дії (інше ніж 0 або 180 градусів) реальних векторів власної осі немає – будь-який напрямок повертається, що є алгебраїчним відбитком повороту і пояснює, чому його власні числа виходять у вигляді комплексно-спряженої пари замість дійсних чисел. Вектори власної осі мають значення далеко за межами цієї симуляції: вони – осі, вздовж яких повторне застосування матриці (наприклад, у Марківській ланцюзі, фізичному режимі або коваріансній матриці машинного навчання) поводиться просто, росте або зменшується на фіксовану величину кожного разу, а не заплутаний з усіма іншими напрямками.

M v = lambda * v

v         eigenvector -- a direction unchanged by the transformation (up to scale)
lambda    eigenvalue -- how much that direction is stretched (or flipped, if negative)

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Matrix Transformations і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.