Проекції GPS карти: Меркатор, Спотворення та Індикативна Проєкція Тіссо

Немає способу розгладити сферу без обману

Теорема Еґериуса Гаусса доводить це суворо, але інтуїція давніша: ви не можете очистити апельсин і покласти шкірку рівно, не розриваючи чи не деформуючи її. Сфера має вроджену кривизну, а площина – ні, тому будь-яка функція, яка відображає широту та довготу у плоскі координати x/y, повинна спотворювати щось — площу, кут, відстань або форму. Проекція – це просто вибір того, що віддати, і де завдати болю.

Меркатор: прямі лінії, чесні кути, нечесна площа

Джаред Меркетор опублікував свій проєкт у 1569 році з одного приводу: навігація. На карті Меркатора пряма лінія, проведена між двома точками, є курсовою лінією — шляхом постійної магнітної азимути. Капітан міг намалювати пряму лінію на карті, прочитати один кут та слідувати йому цілий шлях. Ця властивість випливає з того, що проєкт є конформним: він зберігає кути локально, тому невеликий квадрат на глобусі стає невеликим квадратом на карті, ніколи ромбом.

x = R · λ (довгота, лінійно масштабована) y = R · ln( tan(π/4 + φ/2) ) (широта, розтягнута до полюсів) R = радіус Землі, λ = довгота в радіанах, φ = широта в радіанах Формула для y є ключем. Як широта φ наближається до 90°, tan(π/4 + φ/2) прямує до нескінченності, тому полюса ніколи не з'являються — вони знаходяться при y = ±∞. Щоб правильно відображати кути всюди, північно-південний масштаб повинен рости з такою ж швидкістю, як і східно-західний масштаб, який вже розтягнутий у 1/cos(φ), щоб зберегти меридіани паралельними. В результаті площа збільшується приблизно в 1/cos²(φ): близько 3 рази на широті 60° та нескінченно, коли ви наближаєтесь до полюсів. Гренландія (≈2,2 млн км²) з'являється більшою на карті, ніж Африка (≈30 млн км²), що є відхиленням більше ніж на порядковий знак.

x = R · λ                          (longitude, scaled linearly)
y = R · ln( tan(π/4 + φ/2) )        (latitude, stretched toward the poles)

R = Earth radius, λ = longitude in radians, φ = latitude in radians

Тіссітова індикатрика: лінійка брехні

Ідея Нікола Тіссіта, вперше сформульована у 1859 році, є простою та досі стандартним способом, яким картографи передають спотворення: нанести нескінченно малий коло на глобусі, проштовхнути його через проекцію та побачити, якої форми вийде фігура. Побудуйте цю еліптичну форму спотворень у сітці точок на карті, і цей візерунок розповість вам все.

Конформна проекція (Меркатор) → кожна еліпс є КІЛЬЦЕМ, радіус зростає до полюсів Плоскомірне проектування (Мулвейде, Альберс) → кожна еліпсія має однакову площу, форма змінюється Рівномірний / компромісний (Робінсон) → еліпси варіюються як за площею, так і за формою, помірно Поле зростаючих кіл є підписом Меркатора: форми є локально правильними всюди, але масштаб вибухає до полюсів. Поле однакових площ, але все більш стиснутих еліпсів – це підпис плоскомірного проектування: країни зберігають свій правильний відносний розмір, але їхні контури спотворюються поблизу країв карти. Жодна проекція не виробляє маленьких, рівномірних, не спотворених кіл всюди - для цього потрібно було б розплющити сферу без її витягування, що й відмовився зробити Гаусс.

Conformal projection (Mercator)  → every ellipse is a CIRCLE, radius grows toward poles
Equal-area projection (Mollweide, Albers) → every ellipse has the SAME AREA, shape varies
Equidistant / compromise (Robinson) → ellipses vary in both area and shape, moderately

Чому додатки GPS все ще використовують Меркатора

Веб-карти використовують варіант, який називається Web Mercator (EPSG:3857), який розглядає Землю як сферу для швидкості та розділяє світ на квадрати 256x256 пікселів на кожному рівні масштабування — рівень 0 є одним квадратом, рівень 1 є сіткою 2x2 і так далі, подвоюючи кожен рівень. Оскільки Меркатор є конформним, невеликий квадрат початкових координат завжди відображається на невеликий квадрат пікселів незалежно від того, де на Землі ви знаходитесь, тому однакова математика складання використовується однаково на екваторі та біля Лондона. Плоскою проекцією рівної площі не має цієї властивості — її місцева шкала змінюється в залежності від напрямку, що призведе до нерівномірного вирівнювання квадратних піксельних плиток. Ваш блакитний маркер GPS рухається через цю саму систему координат: приймач обчислює широту та довготу з сигналів супутників і лише остапковий крок — відображення його на екрані — перепроєктує це положення за допомогою вищезазначеної формули Меркатора.

Вибір правильного проєкту для роботи

За межами навігації та веб-карт Меркатор зазвичай є неправильним вибором. Карта з розподілом населення за кількістю населення повинна використовувати проєкцію рівної площі (Мвольде, Альберс, Equal Earth), щоб щільне затінення регіону дійсно представляло пропорційно більше людей, а не більше полярного спотворення. Графік планування польотів потребує проєкції з рівними відстанями, щоб правильно вимірювалися відстані від обраного центру. Загальна карта стін для посилань часто використовує компромісну проєкцію, таку як Робінсон або Вінкель Трипель, яка мінімізує суму всіх спотворень, а не усуває будь-яке з них ідеально — вона ніколи не є абсолютно правильною щодо чогось, що парадоксальним чином робить її здатною на вигляд, що все правильно.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте GPS Map Projection і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.