3D Фрактали: Мандельбульд і Проміжне Маршування Відстанями

Чому 3D фрактали складні

Мандельбротів множину живе у комплексному плані, згенеровано за формулою z → z² + c, і вона працює завдяки тому, що комплексне множення є аналітичним – диференційованим всюди та зберігаючим кути, що й створює нескінченно складні самоподібні межі. Розширення цього на три виміри потребувало б нормованої дільної алгебри над ℝ³, але теорема Герца провідна до того, що така алгебра не існує – єдині валідні такі з розмірностями 1, 2, 4 (кватерніони) або 8 (октавніони), а не 3. Кватерніонні фрактали існують у 4D, але їх проектування назад у 3D дає відносно гладкі форми без бульбоподібної структури, яку полювали за нею художники-фракталісти. Дві обхідні шляхи вижили: алгебраїчні трюки, такі як сферальна операція степеня в Мандельбульді, та геометрична ітерація – повторне складання простору, як це роблять пізмову губку та мандельбокс.

Мандельбру́б: сферична формула потужності-8

Представлено Даніелем Вайт та Паулом Найлером у 2009 році, Мандельбру́б перетворює тривимірну точку на сферичні координати (r, θ, φ), підносить радіус до n-го степеня, примножуючи кути на n, повертає в декартову систему координат і ітерує v → vⁿ + c від v = 0. При n = 2 результат є бездоганною гладкою сферою; коли n зростає, поверхня значно драматичніше демонструє самосхожість та деталі, а до стандартного вибору n = 8 відноситься глибоко вбудований, спіральний бульба, який всі знають, з оціненою Hausdorff розмірністю межі близько 2.97 – майже повністю заповнюючи простір. Оскільки сферична потужна операція не є гомологічною картою, Мандельбру́б не є буквально 3D множинним множиною Броунівського типу з тими самими математичними гарантіями — але візуально та обчислювально це один із найбільш винагороджуючих фракталів, який коли-небудь відображався.

Mandelbulb distance estimator (Íñigo Quílez):
  dr ← n · r^(n-1) · dr + 1        // running derivative magnitude
  DE = 0.5 · log(|z|) · |z| / dr    // after escape — safe step bound

Ray march: p += DE · rd; repeat until DE < ε (hit) or dist > max (miss)

Відстеження кулі: пересування на безпечну відстань на кожному кроці

Підписане поле відстаней (SDF) – це функція f(p), яка повертає відстань від точки до найближчої поверхні — негативну всередині, позитивну зовні, нуль точно на ній. Відстеження сфер використовує це: кидайте промінь, оцінюйте SDF у поточній позиції, стрибайте вперед на рівно цю відстань (гарантовано не перемахнете жодної поверхні), і повторюйте до тих пір, поки відстань падає нижче дуже малого епсилон (удар) або накопичена відстань перевищує ліміт (пропуск). Норми поверхонь для освітлення отримуються з градієнту SDF за допомогою хитрості чотиригранної піраміди Quílez, що зменшує це до чотирьох оцінок замість шести. Тонкі фрактальні особливості вимагають багато невеликих кроків, тому типові реалізації виконують 64–256 кроків на піксель; коефіцієнт розслаблення вище 1,0 дозволяє променю рухатися швидше через відкритий простір, але все ще безпечно відступати до деталей.

Визначення кольору поверхні: пастки орбіт та плавна ітерація

Оцінки часу втечі безпосередньо, як цілі числа, спричиняють видимі сходинки на відресованій зображенні; плавне підрахування ітерацій замінює ціле значення smooth_i = i − log₂(log₂(r)) + 4, отримане з теорії потенціалу, щоб усунути сходинки. Пастки орбіти додають більш насичені кольори шляхом відстеження того, наскільки близько до об’єкта проходить ітераційний обертання орбіти по відношенню до опорної форми — точки, площини або перетину XY — та відображення мінімальної відстані в колір, створюючи яскраві кільцеві та крос-закономірності, значно виходячи за рамки простого градієнтного затінення. Відносно сімейства фракталів розширюють механізм оцінки відстаней: Mandelbox (Том Лоу, 2010) чергує згортку коробки та згортку сфери для побудови рекурсивних міських структур, а гібридні фрактали комбінують кроки з різних формул повністю.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.