Переходи Ландау-Зенера через уникнуте перехрестя

Двохрівневий гамільтоніан та уникнені перетини

Загалом, система починається з двохрівневого гамільтона, що залежить від часу, записаного на основі двох діаболічних станів – станів, які б лінійно перетинались за енергією як функція певного зовнішнього параметра, якщо б між ними не було взаємодії хоча б у принципі, плюс постійний офф-діагональний член, що змішує ці два діаболічних стани. Діагонулювання цього гамільтона на кожному етапі дає адіабатичні власні стани, чиї енергії, замість того, щоб перетинатись, відштовхуються один від одного і утворюють характерну гіперболоподібну діаграму уникненого перетину, з мінімальним розривом на точці найближчого підходу, рівним подвоєній величині коефіцієнту зв’язку, часто називаному промінням (Delta). Лінійне зміщення зовнішнього параметра в часі призводить до того, що діаболічні енергії перетинаються лінійно за певною фіксованою швидкістю, зазвичай параметризованою швидкістю зсуву (alpha), яка дорівнює швидкості зміни різниці енергій між двома діаболічними станами. Ця проста, але точно розв’язана модель, незважаючи на свою простоту, захоплює основну фізику величезної кількості фізичних ситуацій: дві об’єднані електронні стани атомів або молекул, коли змінюється відстань між ядрами, два спінових стани в змінному магнітному полі, два рівні кубітів, що проходять через резонанс, або дві зонові смуги кристала, які наближаються одна до одної на межі Брунового простору – у всіх випадках зводиться до однієї універсальної математичної структури двох рівнів, що лінійно підходять і відштовхуються один від одного.

Формула Ландау-Зенера та її два границі

Точне рішення часової залежної рівняння Шредінгера для цієї лінійної дворівневої проблеми з переходом, спочатку отримане Ландау та Зенером, дає ймовірність того, що система, починаючи глибоко в одному діаботичному стані перед переходом, опиниться в тому ж діаботичному стані після проходження через перехідний регіон (замість адіабатичного переходу на інший діаботичний стан) як P дорівнює експоненті мінус два пі разів розріз між щілинами в квадраті, поділеному на чотири рази на швидкість переходу (з відповідними множниками зведеної планківської сталості), часто стисло записується як експонента мінуса безрозмірний параметр, пропорційний квадрату розрізу між щілинами до швидкості переходу. Ця елегантна формула плавно інтерполює між двома граничними поведінками: коли швидкість переходу невелика або розріз великий, так що цей Ландау-Зенера параметр набагато більший за одиницю, експонента зникає і ймовірність діаботичного переходу наближається до нуля, тобто система адіабатично слідує за миттєвим власним станом і опиняється повністю в протилежному діаботичному рівні, результат, який безпосередньо вимагається квантовим адіабатичним теоремам. Коли швидкість переходу велика або розріз малий, так що параметр набагато менший за одиницю, експонента наближається до одного і ймовірність діаботичного переходу наближається до одиниці, тобто система фактично ігнорує уникнутий перетин і продовжує по своїй вихідній діаботичній траєкторії, як ніби два рівні дійсно перетнули один одного без будь-якого взаємодії. Перехід між цими двома граничними режимами відбувається плавно та безперервно, коли цей єдиний безрозмірний Ландау-Зенера параметр налаштовується через одиницю, і просте експоненційне залежність від співвідношення квадрату розрізу між щілинами до швидкості переходу робить його таким потужним та широко застосовним кількісним інструментом.

Проблема Ландау-Зенера та її порушення

Проблема Ландау-Зенера найкраще розуміється як конкретний, точно розв’язаний випадок ширшого квантового теореми адіабатичного переходу, який стверджує, що система, ініціалізована в миттєвому власному стані змінної швидко змінюваної гамільтоніана, залишатиметься в цьому власному стані протягом усієї еволюції, за умови, що гамільтоніан змінюється повільно достатньо відносно енергетичної щілини, що відокремлює цей власний стан від усіх інших. Уникнуте перетин Ландау-Зенера представляє саме ситуацію, коли ця адіабатична умова може бути порушена контрольовано та кількісно: оскільки щілина Δ зменшується до свого мінімального значення точно в точці перетину, локальна адіабатична умова, яка вимагає, щоб швидкість переміщення була значно меншою за квадрат енергетичної щілини (в відповідних одиницях), стає найважчою для точного виконання саме там, і формула Ландау-Зенера в основному кількісно визначає, наскільки великий діабатичний ‘витік’ виникає через цей локальний розлад адіабатності в безпосередній близькості від уникнутого перетину. Це робить формулу Ландау-Зенера надзвичайно корисним практичним діагностичним та інструментом проектування: коли будь-який дослідник потребує, щоб система залишалася адіабатичною (вірно слідувала б миттєвому власному стані, як це потрібно в протоколах адіабатичного квантового обчислення або підготовки власних станів), або навпаки, свідомо проходила б діабатичний перетин (як у швидких квантових гейтах, які потребують збереження певного характеру діабатичного стану), формула Ландау-Зенера безпосередньо повідомляє їм, наскільки повільно або швидко потрібно переміщувати відповідний параметр керування та наскільки сильно, щоб досягти бажаної ймовірності переходу з високою точністю.

Ла́ндус-Зе́неровские интерференции

Когда внешний управляющий параметр многократно просматривается через пересечение, избежавшее, а не просто один раз, система переживает последовательность ла́ндус-зе́неровских переходов, перемежающихся периодами свободного эволюционного движения, в течение которых две диабетические состояния накапливают относительную квантовую фазу, и возникающая интерференция между различными возможными путями при многократном прохождении приводит к богатым, осциллирующим интерференционным обрезкам в вероятности перехода состояния в конечном состоянии как функцию параметров просматривания, эффект, известный как ла́ндус-зе́неровская-стакельберговская интерференция. Эта техника стала мощным и широко используемым спектроскопическим и инструментом управления в современной квантовой физике устройств, особенно для сверхпроводящих кубитов и других твердотельных искусственных двухуровневых систем, поскольку детальный интерференционный рисунок, наблюдаемый как функция амплитуды и частоты привода, непосредственно кодирует точную информацию об энергетическом зазоре кубита, его связность с управляющим полем, а также его связность с источниками шума окружающей среды, поскольку дефазирование от окружающей среды вымывает более тонкие интерференционные обрезки в характерном, диагностируемом способе. Поскольку ла́ндус-зе́неровская-стакельберговская интерференция требует только многократного просматривания управляющего параметра и измерения конечной популяции состояния, обе операции просты для реализации в большинстве платформ кубитов, она стала одним из стандартных методов характеризации и калибровки твердотельных кубитовых устройств без необходимости использования более сложных методов спектроскопии на основе последовательности импульсов.

Застосування в фізиці та квантових технологіях

Формула Ландау-Зенера має надзвичайно широкий спектр застосувань у фізиці, завдяки тому, що основна структура двохуровневого переходу повторюється у багатьох різних фізичних контекстах. В атомній та молекулярній фізиці вона описує неадіабатичні переходи між потенційними енергетичними поверхнями електронів під час зіткнень або хімічних реакцій, що безпосередньо стосується прогнозування швидкостей реакцій і співвідношень розщеплення в таких галузях, як горіння, астрофізичне утворення молекул та багато іншого. В конденсованій матерії аналогічна рамка Ландау-Зенера описує Блох-Зенера коливання та міжсмуговий (Зенера) тунелювання електронів між енергетичними смужками в кристалі під дією сильного прикладеного електричного поля, що є важливим для розуміння електричних проривів у напівпровідниках і для розроблених систем ультрахолодних атомів, які моделюють цю саму фізику смуг з надзвичайною точністю. У квантових інформаційних науках переходи Ландау-Зенера забезпечують стандартний та надійний метод реалізації передачі квантового стану та контрольованого інвертування населення в платформах із затриманими іонами, надпровідними кубітами та спіновими кубітами, оскільки перехід через резонанс з достатньою швидкістю, щоб гарантувати майже одинивий адіабатичний перенос, часто є значно більш стійким до невеликих помилок у часі або амплітуді імпульсу порівняно з імпульсом резонансного точно відкаліброваної тривалості, властивість стійкості, яка іноді називається адіабатичним швидким проходом, що зробило протоколи керування на основі Ландау-Зенера стандартною та надійною технікою для високоточного підготовки та маніпулювання станом практично у всіх основних платформах квантового обчислювального обладнання, які зараз перебувають у активній розробці сьогодні.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Landau-Zener Transitions Through an Avoided Crossing і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.