2D Зображення FFT: Розгляд Частотного Спектру Зображення |……

Розкладання зображення на частотні компоненти

Швидке розгортання швидкого перетворення Фур'є (FFT) є алгоритмом для обчислення дискретного перетворення Фур'є (DFT). DFT є основою багатьох цифрових сигнальних та оброблювальних систем. Алгоритм FFT використовує метод розділяй-подолей, щоб зменшити кількість обчислень, необхідних для обчислення DFT. Це дозволяє обчислити DFT набагато швидше, ніж традиційний алгоритм.

Розкладання зображення на частотні компоненти відбувається за допомогою розгортання FFT. Зображення можна розглядати як 2D сітку зразків. Оскільки DFT є роздільним, не потрібно фундаментально іншого алгоритму для перетворення його: запустіть 1D radix-2 FFT вздовж кожного рядка, а потім запустіть ще один 1D FFT вниз по кожному отриманому стовпцю (або навпаки). Результат - повний 2D частотний спектр зображення, обчислений за витратою O(N log N) на рядок і стовпець, а не ціною O(N²) прямого 2D перетворення.

FFT є потужним інструментом для аналізу та обробки сигналів. Його можна використовувати для широкого спектру застосувань, включаючи обробку зображень, аудіо та відео.

Читання спектру величини

Після перетворення (і зазвичай зсуву, щоб нульова частотна складова була в центрі), спектр величини |X[u,v]| показує, де живе енергія зображення по просторових частотах. Центр представляє низькі просторові частоти — гладке, повільно змінюване яскравості, широкі форми та градієнти на фотографії. Точки далі від центру представляють високі просторові частоти: гострі краї, дрібну текстуру, шум. Фотографія природного ландшафту зазвичай має майже всю свою енергію зосереджену біля центру, оскільки більшість вмісту зображення змінюється плавно — що є точно тому, чому високоефективні коефіцієнти часто можна агресивно відкидати з мінімальною видимою втратою під час стиснення.

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Фільтрація за допомогою редагування спектру

Частотно-доменна фільтрація – це просто множення спектра на маску, а потім застосування інвертованого FFT для отримання відфільтрованої зображення. Низькочастотна фільтрація утримує лише диск навколо центру та нульову все, що знаходиться за межами нього, що розмиває зображення шляхом викидання деталі високої частоти, які несуться на великій відстані від центру. Високочастотна фільтрація робить зворотне – нульову центр, утримує краї — що загострює краї та пригнічує плавне затінення. Періодичний шум, наприклад, повторювані смуги від роздрукованої галоти або артефакт датчика камери, проявляється як невеликий кількість концентрованих яскравих точок у певному місці, що віддалене від центру, оскільки повторюваний шаблон простору відповідає гострому ізольованому піку в частотному діапазоні. Направлений фільтр notch нульову лише ці точки, видаляючи смуги, залишаючи при цьому весь решту частотного вмісту — і деталі — незмінними.

2D FFT (separable):
  Step 1: FFT each row      →  O(N log N) per row
  Step 2: FFT each column   →  O(N log N) per column
  Total for N×N image:      →  O(N² log N)

Filter → multiply spectrum by mask → inverse FFT → filtered image

Часті запитання

Як обчислюється 2D FFT зображення?

2D FFT є роздільним: запускайте 1D radix-2 FFT вздовж кожного рядка зображення, а потім ще один 1D FFT по всіх отриманих стовпцях (або навпаки). Це дає повний 2D частотний спектр з витратою O(N log N) вартості на рядок і стовпець замість O(N²) вартості прямої 2D перетворення.

Що означають яскраві плями в спектрі величини FFT зображення?

Центр спектру представляє низькі просторові частоти — плавні, повільно змінювані зміни яскравості в зображенні, а точки далі від центру представляють високі просторові частоти, що відповідають гострим крагам і дрібним деталям. Сильний лінійний або точковий візерунок далеко від центру зазвичай вказує на періодичну структуру, таку як повторювані смуги, в оригінальному зображенні.

Чому видалення певної частотної складової позбавляє від періодичних смуг на фотографії?

Періодичні смуги в зображенні проявляються як невелика кількість концентрованих яскравих плям у певній локації в частотному спектрі, що відповідає просторовій частоті та орієнтації смуги. Фільтр-notch нульовий саме ці плями перед зворотним FFT перетворенням, видаляючи смуги, зберігаючи при цьому решту частотного вмісту зображення.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію the simulation