Водень: сферичні гармоніки та форми s, p, d станів

Сферично симетричний потенціал чітко розділяється

Атом водню – це електрон, зв’язаний з протоном за допомогою кутового потенціалу V(r) = −e²/4πε₀r), який залежить лише від відстані r, ніколи не від напрямку. Ця сферична симетрія означає, що гамільтоніан комутує з операторами загального моменту L² та Lz, тому всі три мають спільний набір власних станів. Шукаючи розв’язків продуктового виду ψ(r,θ,φ) = R(r)·Y(θ,φ), ми розділяємо повне рівняння Шредінгера на одну чисто кутову та одну чисто радіальну задачу, пов’язані лише постійним l(l+1).

The Coulomb potential describes the electrostatic force between the charged particles. The separation constant 'l' quantifies the angular part of the wave function and is related to the orbital quantum number. Solving these two equations separately allows us to understand the different ways an electron can be arranged around the nucleus, leading to distinct shapes and energies.

Кутові частини: сферичні гармоніки

Рівняння кутового розв’язку з використанням сферичних гармонік Ylm(θ, φ) – та ж сама сім'я функцій, що описує множиннополярні поля в електромагнетизмі та режими вібрації сфери. Кожна з них розкладається на θ-залежний поліном Лежандра та φ-залежну фазу eimφ. Квантовий номер l = 0, 1, 2, 3… позначено як s, p, d, f відповідно до конвенції 1890-х років (гострий, основний, розсіяний, фундаментальний), і для кожного l значення m змінюється від -l до +l, що є коренем «одного s-орбіталя, трьох p-орбіталів, п’яти d-орбіталів».

The quantum number l = 0, 1, 2, 3… is labelled s, p, d, f by 1890s spectroscopic convention (sharp, principal, diffuse, fundamental), and for each l, m ranges over 2l+1 integer values from −l to +l — the origin of "one s orbital, three p orbitals, five d orbitals."

Розв’язування радіальної задачі для кулі Гартрі – Бора та вимога прозорості хвильової функції

Для розв’язання радіальної задачі для кулі Гартрі – Бора необхідно підставити R(r) = e−r/na₀·(r/a₀), де a₀ — радіус Бора. Вимога, щоб хвильова функція залишалася кінцевою при r → ∞, змушує L(r) бути пов’язаним Лагранжевим многочленом — і ця ж вимога визначає енергію:

Eₙ = −(m e⁴) / (2(4πε₀)²ℏ²n²) = −13.6 eV / n² Це дивовижно, що воно залежить лише від головного квантового числа n, ніколи не від l або m — випадкова дегенерація, унікальна для чистого 1/r потенціалу. Це зникає для будь-якого іншого центрального потенціалу і піднімається в реальних багатоелектронних атомах за рахунок електрон-електронного екранування, що є причиною того, чому важчим атомам потрібна повна структура періодичної таблиці замість простого ланцюжка водню.

Eₙ = −(m e⁴) / (2(4πε₀)²ℏ²n²) = −13.6 eV / n²

Квантові числа n, l, m та форми орбіталів

Три квантові числа повністю описують орбіталь: n (1, 2, 3…) визначає енергетичну оболонку, l (від 0 до n−1) – форму, а m (−l до +l) – орієнтацію. s-орбіталі (l=0) сферично симетричні з ненульовою густиною прямо біля ядра; p-орбіталі (l=1) – це дві лобові структури протилежного знаку, розділені площиною нода; d-орбіталаe (l=2) утворюють чотирилобусні клеверні форми з двома кутовими плотинами ноду. Кожна орбіталь має n−1 загальних нодів, розподілених між радіальними оболонками та кутовими площинами – той самий підрахунок гармонік, що регулює вібрацію струнного інструменту, лише в трьох вимірах і обмежений кулонівською привабливістю замість фіксованої довжини.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.