Хвилі Гюйгенса: Одна формула для показного коефіцієнта та дифракції

Хуїгенівські хвильоті (Wavelets) всюди і завжди

Крістіан Хуїгенс у 1678 році запропонував вражаюче просте зображення того, як поширюється хвиля: кожна точка на фронтальній зоні є джерелом невеликої вторинної хвильоті, що розповсюджуються зі швидкістю власної хвилі, а нова фронтова зона – це просто спільна оболонка (поверхня, дотична до всіх цих хвильоті одночасно). Звучить майже занадто просто, щоб бути корисним, але повторне формування цієї оболонки відтворює прямолінійне розповсюдження, відбиття, показний ефект і дифракцію одним повторенням геометричної операції, без необхідності окремого правила для кожного явища.

Вывод закона преломления из геометрии волновых фронтов

Самый мощный трюк Гюйгенса – вывод закона преломления без какого-либо упоминания лучей. Когда фронт волны сталкивается с границей между двумя средами под углом, часть его достигает второй среды — где скорость распространения волны либо медленнее, либо быстрее — до того, как остальная часть сделает это. Эта уже пересеченная граница излучает волновые фронты с новой (более медленной, для более плотной среды) скоростью, а оставшаяся часть продолжает излучать с прежней скоростью, поэтому получается поворот всей волны к нормали на медленной стороне: вся волна вращается в направлении этой границы. Рассмотрение соответствующей геометрии треугольника дает точно закон Снеллиуса:

n*sin(θ) = n*sin(θ) n = c / v (показатель преломления = скорость в вакууме / скорость в среде) Более высокое n → более медленная скорость волны → сгущаются волновые фронты → волна отклоняется ближе к нормали. То же самое рассуждение, примененное к границе, где волна просто отражается без изменения скорости, дает обычный закон отражения: угол падения равен углу отражения, опять же чисто из геометрии сопоставления волновых фронтов с обеих сторон от зеркала.

n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂

n = c / v     (refractive index = vacuum speed / speed in the medium)

Larger n → slower wave speed → wavelets bunch up →
wavefront bends closer to the normal.

Дифракція: конструкція зустрічається з краєм

Направте хвилю в вузький проміжок, і хвильок, які б виникли з заблокованих частин фронту хвилі, просто немає, тому що на дальній стороні відкриття не може сформуватися чиста плоска передня частина. Хвильки з незаблокованої смуги розповсюджують хвилю вбік, створюючи тінь, яка б інакше була геометричною – це саме те, що означає дифракція, і чого немає на зображенні світла як прямих, незгинальних променів. Чим вужчий проміжок відносно довжини хвилі, тим ближче передана хвиля стає до єдиної точки джерела, яка випромінює у всіх напрямках вперед.

Від хвильових фронтів до інтерференційної картини

Над отвором, де розташоване дзеркало, з різних точок проходять хвильові фронти, які пройшли трохи різні відстані, щоб досягти заданого кута спостереження. Таким чином, вони прибувають не в фазі один з одним на величину, яка залежить від цього кута. Підсумовуючи всі ці фазозміщені внески, отримуємо сильне посилення прямо перед собою та серію темних інтерференційних підозр, де внески скасовуються:

sin θ = λ/2 Мінімальні значення дифракції при одношлотній дифракції, m = ±1, ±2,... sin θ = λ/2 Максимальні значення інтерференції при подвійному шлюзі, m = 0, ±1, ±2,... Розміщуючи два прозорості поруч один з одним і кожен з них є своїм власним джерелом хвильових фронтів, що розповсюджуються; ці дві переплітаючіся хвилі інтерферують одна з одною над однією дифракцією, яка вже має кожен окремо, створюючи знайомі тонкі інтерференційні підозри, які лежать всередині ширшої дифракційної оболонки — все це можна відстежити назад до однієї і тієї ж правила підсумовування внесків хвильових фронтів.

a sinθ = mλ      single-slit diffraction minima, m = ±1, ±2, ...

d sinθ = mλ      double-slit interference maxima, m = 0, ±1, ±2, ...

Проміжок Френеля, який потрібно було заповнити

Початкова конструкція Гюйгенса мала слабке місце: в ній не пояснювалося, чому хвильові пакульки також не повинні були розходитися назад до джерела, що передбачало б штучну хвилю, що йде назад, і яка ніколи не спостерігається. Августин-Жан Френель заповнив цей проміжок, зважуючи внесок кожної хвильової пакульки спрямований (залежний від кута) фактор, який пригнічував зворотну спрямованість, перетворюючи грубе геометричне зображення на кількісно правильний принцип Гюйгенса-Френеля, що використовується в сучасних обчисленнях дифракції, пізніше сформульований Густавом Кірхофом безпосередньо з рівняння хвилі.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Huygens' Principle і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.