Згущення джему: Як купина дисків стає твердою

Нагромадження піску не є фазою речовини — поки воно не відбудеться

Вилийте пісок з руки, і він тече як рідина. Зупиніть виливання та дозвольте йому осісти у купу, і ті самі зерна тепер підтримують вагу як тверда речовина. Нічого хімічного не змінилося — між зернами не утворювалися зв’язки, не з’являлася кристалічна решітка. Змінилося лише геометрично: у зерен закінчився простір для переупорядкування навколо один одного. Це — нагромадження, і це один із найчистіших прикладів системи, яка набуває твердості завдяки обмеженням упаковки, а не завдяки будь-якій привабливій силі.

Найпростіша лабораторія для вивчення цього — це не пісок, а 2D-упаковка без тертя з монодисперсних жорстких дисків, утримуваних у коробці. Повільно зменшуйте розмір коробки (еквівалентно додавайте більше дисків за фіксованого розміру коробки) та відстежуйте співвідношення упаковки φ — частку площі коробки, яку фактично займають диски.

Критичний фактор пакування φ_J

Ниж межі критичного значення, диски мають достатньо вільного простору, щоб просуватися повз своїх сусідів під будь-яким прикладеним зрізом — пакування відбувається, хоч і повільно, без статичного зрізу напружень. Вище цієї межі, кожен диск геометрично заблокований від своїх сусідів: не існує шляху переупорядкування, який не потребував би перекриття дисків, тому пакування чинить опір зрізу як тверде тіло. Для без тертя, однорідних дисків у двох вимірах цей поріг становить випадковий фактор пакування:

φ_J ≈ 0.84 (2D, однорідні, без тертя диски — точка J) φ φ_J → пакування ЗЖЕМУЄТЕ: кінцевий модуль зрізу, кінцеве тиск Це не закруглення гладкої кривої — прямо при φ = φ_J обидва модуль зрізу та об’ємний модуль перемикаються з точно нуля, і трохи вище від них зростають як степеняві функції надлишкового пакування, φ − φ_J. Відповідне значення для 3D без тертя кулі становить φ_J ≈ 0.64, значення, яке кожний фізичний студент чує як «випадковий фактор пакування». Обидва числа походять від однієї і тієї ж основної ідеї: змащування, а не кристалізація, розлаженого збору твердих частинок.

φ_J ≈ 0.84   (2D, monodisperse, frictionless discs — point J)

φ < φ_J   →  packing is UNJAMMED: flows, zero shear modulus, zero pressure
φ > φ_J   →  packing is JAMMED: finite shear modulus, finite pressure

Ізостатичність: чому перехід такий різкий

Різкість моменту застигання має точне механічне пояснення, завдяки аргументу Джеймса Клерка Максвелла про підрахунок твердості: пакування з N нековзаючих дисків має 2N ступенів свободи (у 2D) і потребує щонайменше 2N контактних сил для забезпечення механічної жорсткості та статичної детермінованості. Прямо на момент застигання середнє число контактів на частинку, число контактів z, дорівнює точно цьому ізостатичному значенню:

z_iso = 2·d (d = просторова розмірність: z_iso = 4 у 2D, z_iso = 6 у 3D) z < z_iso → під-обмежений: існують «ковзкі режими», структура може вільно деформуватися z ≥ z_iso → пере-обмежений: відсутня вільна деформація, пакування тверде Прямо при φ_J пакування має точно z_iso контактів на частинку в середньому, ні більше, ні менше — лише щойно достатньо, щоб закріпити кожну частинку на місці. Саме тому застигання виглядає як справжча критична точка, з надлишком числа контактів Δz та надлишком модуля, обидва масштабуються як чисті степені залежності від φ − φ_J, і використовується однакова математична мова, що застосовується для переходу пірилінгу в статті про мережу пружин на цьому сайті.

z_iso = 2·d          (d = spatial dimension: z_iso = 4 in 2D, z_iso = 6 in 3D)

z < z_iso  →  under-constrained: "floppy modes" exist, structure can deform for free
z ≥ z_iso  →  over-constrained: no free deformation, packing is rigid

Здійснення тиску за допомогою механізмів: твердий, але не однорідний

Після того, як матеріал застряг, пакування не розподіляє прикладене навантаження так, як це робило б безперервний еластичний твердий тіл. Сили контакту концентруються вздовж товстих нитчастих сил, які звиваються крізь пакування відповідно до того, які контакти є найбільш сприятливими, тоді як частинки, що знаходяться безпосередньо біля цих сил, несуть майже ніяке навантаження. Експерименти з плексигласу (де напружені диски поляризують світло та випромінюють його під час перетиску фільтрів) роблять ці механізми видимими безпосередньо, і це пояснює, чому тверді матеріали можуть підтримувати величезні локалізовані навантаження (наприклад, слід від взуття на піску), залишаючись глобально м’якими та легко зрушуються в інших місцях.

Фаза застилання

Андреа Ліу та Сайді Нагель запропонували у 1998 році, що застилання слід розглядати як один кут багатошарового уніфікуючого діаграми фаз, з трьома осяями: щільність (1/φ), температура та прикладена сила тертя. Подальше збільшення щільності, зниження температури або зменшення сили тертя в будь-якій із цих систем штовхає розладовану систему до одного ж твердого, застиглого стану — тому пінома, емульсій, коллоїдних скла та гранульованих пакувань, незважаючи на їх значні фізичні відмінності, мають однакову критичну масштабування поблизу їхніх відповідних точок застигання. Гранулярна матерія при нульовій температурі є просто віссю, де теплові флуктуації не мають значення, і геометрія пакування визначає результат.

Моделювання стиснення

Мінімальна симуляція інтегрує сили перешкоджання між м’якими дисками (лінійне або Герцевове відштовхування, яке вмикається лише при перетині двох дисків) з демпфованими молекулярними динаміками та повільно зменшує розмір періодичної коробки або збільшує радіуси дисків, одночасно вимірюючи загальний тиск. Тиск залишається на рівні машинного нуля нижче φ_J і різко зростає в момент, коли диски змушено перетинаються над цим значенням – це найчистіший спосіб визначити φ_J числом, не рахуючи кількість контактів вручну.

// pairwise soft-disc repulsion, only active on overlap
for each pair (i, j):
  dr = distance(i, j);  overlap = (r_i + r_j) - dr;
  if (overlap > 0) {
    f = k * overlap;              // linear spring, k = stiffness
    applyForce(i, j, f, direction = (pos_i - pos_j) / dr);
  }
// pressure ≈ sum of overlap forces × contact distances / (2 × box area)

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Granular Jamming і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.