Кулькастий газ: закон Гаффа, кластеризація та нееластичний колапс

Газ, що втрачає енергію при кожному зіткненні

Звичайний газ з твердих куль зберігає кінетичну енергію в кожному зіткненні – це те, що робить можливим існування та стабільність рівноваги Максвелла-Больцмана після її досягнення. Гранулярний газ – пісок, каміння, порошок, коробка з кісток – відрізняється в одній ключовій відмінності: кожне зіткнення між частинками є непругим, розсіюючи частину відносної кінетичної енергії у вигляді тепла, звуку та деформації. Ця одна зміна порушує закон збереження енергії та, разом з цим, більшість механізмів статистичної механіки рівноваги. Без постійного джерела енергії (трясіння, заливання, гравітація), гранулярний газ не досягає рівноваги – це газ, який неминуче охолоджується.

Коефіцієнт демпфування та закон Гаффа

Кожна зіткнення характеризується коефіцієнтом демпфування e (0 ≤ e ≤ 1): відношення швидкості після зіткнення до швидкості перед нею. Ідеально пружні зіткнення мають e = 1 і точно зберігають енергію, як у стандартних симуляціях газу на цьому сайті; зернисті частинки зазвичай мають e в діапазоні від 0,6 до 0,9, втрачаючи фіксовано частку кінетичної енергії при кожному ударі. Для однорідно охолоджуваного зернистого газу – такого, що ще не угрупувався – це призводить до дивовижно простого передбачення з теорії кінетики, закону Гаффа (1983): температура зерна (середня кінетична енергія на частинку) зменшується як степеня в часі.

T(t) = T₀ / (1 + t/τ)²          // Haff's law: granular temperature decay
τ = characteristic cooling time, ∝ 1/[(1-e²)·n·σ·v₀]
// n: number density   σ: collision cross-section   v₀: initial speed
// contrast with elastic gas: T(t) = T₀ forever (no dissipation)

Чому газ не охолоджується однорідно: нестабільність кластерів

Закон Гаффа описує однорідний стан охолодження, але цей стан є нестабільним. Ось механізм: випадкове коливання щільності створює область з дещо більшою кількістю частинок, ніж у середньому; частинки в цій області частіше стикаються, тому вони втрачають енергію (і відповідно швидкість) швидше, ніж частинки в більш розріджених областях; повільніші, холодніші частинки пропонують менший зовнішній тиск для протидії подальшому внутрішньому заглибленню, отже, щільна область приваблює ще більше частинок, стикається ще частіше, охолоджується швидше – це петля позитивної зворотного зв’язку, яка називається кластерною нестабільністю. Якщо залишити її безперешкодно, початковий однорідний гранулярний газ спонтанно розділяється на щільні, майже нерухомі кластери, відокремлені порівняно порожніми, гарячішими областями – це патерновий нестабільність без еквіваленту в звичайному еластичному газі, де такого петлі зворотного зв’язку не існує, оскільки нічого не охолоджується.

Неластичний колапс: коли симуляція повинна втрутитися

Якщо стиснути неластичність або щільність достатньо, кластеризація може повністю вийти з-під контролю: у кінцевому підсумку може відбутися нескінченна кількість зіткнень за обмежений проміжок часу, коли зерна в тісному кластері постійно відскакуючи одна від одної, з кожною меншою відносною швидкістю і зменшуючимся часовим інтервалом — це явище називається неластичним колапсом. Реалістичні симуляції на основі подій повинні виявляти це (розбіжність швидкості зіткнень у зменшуваному районі) та застосовувати регуляризацію, зазвичай TC-модель, яка перемикається на еластичні зіткнення (e = 1), коли відносна швидкість в кластері падає нижче невеликого порогу, що є розумним фізичним показником того, що справжні зерна мають кінцеву жорсткість і не фактично стикаються безперервно протягом певного часу.

Чому вібрація підтримує газоподібність твердих частинок у псевдоплазмі

Кожна реальна система з твердими частинками – пісочниця, камінь-розбивач, флотизований реактор, годинник на сніжку – постійно повторно вводить енергію, зазвичай через вібрацію або гравітацію, що діє на рухому межу. Ця енергія компенсує втрати від зіткнень і дозволяє системі досягти нестаціонарної рівноваги замість того, щоб вона розпалася на групи: псевдоплазма, керована вібрацією, має чіткий розподіл швидкостей, який зазвичай не відповідає розподілу Максвел-Больцмана (її хвости зазвичай перенаселені порівняно з істинним розподілом Максвел-Больцмана – це сигнатура, що спостерігається в реальних експериментах із вібруючими частинками), встановлений температурою визначається балансом між потужністю керування та втратами від зіткнень, а не початковими умовами. Це саме тому тверді матеріали у промисловості – фармацевтичні порошки, зерносховища, конвеєрні системи на з’едностях – розробляються навколо безперервного перемішування: припинення вібрації призводить до того, що матеріал перестає поводитися як рідина взагалі.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Granular Gas і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.