Чому тепло тече саме так: аргумент підрахунку

Розрахунок розкладів замість відстеження кожної частинки

Механіка статистичних систем відповідає на питання, яке в іншому випадку було б нерозв’язаним: враховуючи приблизно 10² частинок у газі, яким чином виглядає система в середньому, без відстеження кожної окремої траєкторії. Ключ до цього, що датується Болтано та Гіббсом, полягає в тому, щоб припинити запитувати про будь-яку частинку і замість цього порахувати кількість різних мікроскопічних розкладів – названих мікростатами – які відповідають одній макроскопічній характеристиці. Простий ігровий варіант цього, який ця симуляція відображає безпосередньо, розподіляє фіксовану кількість невідрізнюваних енергетичних квантів q серед фіксованої кількості незалежних осциляторів N, зберігаючи при цьому загальну енергію постійною – визначальний критерій мікроканонічного ансамблю.

Рахування кількості способів: множинність

Для q нерозрізнюваних квантів, розподілених по N розрізненим осциляторам, число різних способів зробити це — множинність, Ω — є стандартним результатом комбінаторики "зірки та перегородки":

Ω(N, q) = (q + N - 1)! / [ q! * (N - 1)! ] S = k * ln(Ω) (Формула Больцмана для ентальпії)

Того останнього рядка, вигравеного на надгробку Больцману у Відні, є міст від чистого підрахунку до термодинаміки: ентальпія S просто є логарифмом кількості мікроскопічних розкладів, узгоджених із макростаном системи, помножений на константу Больцмана k. Система з більшою кількістю способів розташувати свою енергію має вищу ентальпію, без жодних необхідності звертати увагу на тепло чи хаос – все це випливає з підрахунку.

Ω(N, q) = (q + N − 1)! / [ q! · (N − 1)! ]
S = k · ln Ω                         (Boltzmann's entropy formula)

Дві блоки у контакті: чому енергія тече саме так

Помістіть два блоки осциляторів у тепловому контакті, блок A з N осциляторами та блок B з N+1 осцилятором, поділивши між ними фіксовану кількість q квантів. Дозвольте квантам випадково перестрибувати між блоками, зберігаючи загальну кількість незмінною. Об’єднана множина для будь-якого заданого розподілу (N осциляторів у A та N+1 осциляторах у B, q квантів в A, q = N+1 - q в B) дорівнює Ω_загальна = Ω(N, q) * Ω(N+1, q), і оскільки цей добуток досягає астрономічного піку навколо одного конкретного розподілу, коли N та q великі, система переважно схиляється до переходу до того розподілу, який максимізує Ω_загальна — не завдяки будь-якій силі, що штовхає кванти з одного блоку на інший, а просто тому, що цей розподіл відповідає значно більшій кількості улаштувань, ніж будь-який інший. Це друга закон термодинаміки, в його найбільш буквальній формі: ентропія збільшується, оскільки високоентропійні конфігурації значно переважають низькоентропійні, тому система, досліджуючи свої улаштування випадково, переважно ймовірно опиниться в одному з них.

Температура випадає з ліку, занадто

Температуру саму має своє визначення виключно через Ω: 1/T = (dS/dE) при фіксованому об'ємі та кількості частинок — наскільки круто зростається ентропія, коли ви подаєте системі трохи більше енергії. Дві системи у тепловому контакті досягають рівноваги точно тоді, коли їх температури, визначені цим способом, збігаються, що еквівалентно тому, що Ωзагальна є на максимумі відносно того, як розділяються кванти. Це значно глибше фундаментує поняття температури, ніж «наскільки гарячо відчувається річ» — це твердження про кривизну функції підрахунку.

Розподіл Больцмана виникає з натовпу

Збільште масштаб, щоб побачити окремого осцилятора, вбудованого у величезний резервуар інших, і запитайте ймовірність того, що цей осцилятор містить точно n квантів. Оскільки решту резервуару повинні поглинути будь-які енергії, які не має цей осцилятор, а функція множинності резервуара експоненційно чутлива до того, скільки енергії йому надано, ймовірність того, що позначений осцилятор має енергію E, виявляється пропорційна e^(-E/kT) — розподілу Больцмана. Це не додаткове припущення, яке було прикріплено до моделі: це прямий, неминучий наслідок максимізації загальної кількості укладжень, коли невелика частина системи обмінюється енергією з набагато більшим резервуаром.

Що показує симуляція в режимі реального часу

Починаючи з штучного, упорядкованого розташування (всі кванти на одному осциляторі), симуляція дозволяє кунтам випадково перестрибувати між сусідніми осциляторами, зберігаючи при цьому загальну енергію, і ви можете спостерігати, як змінюється розподіл заповнення, від пікового значення до гладкого експоненційного згасання, характерного для розподілу Больцмана — ентропія росте до максимуму протягом усього процесу, точно так, як передбачає підрахунковий аргумент вище.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Gibbs Ensemble і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.