Диспетчування дробовими частками: однобічний пошук через багато списків

Задача: повторне пошукування через пов’язані списки

Розгляньте ситуацію, яка часто трапляється в обчислювальній геометрії: набір з k лінійних сегментів, розділених сім’єю вертикальних ліній. У кожній вертикальній лінії потрібно знати, які сегменти, що перетинають її, розташовані безпосередньо над і під точкою запиту. Якщо кожен зріз зберігається як окремий відсортований масив координат y, то відповідь на один запит означає виконання окремого бінарного пошуку в кожному з k зрізів, що дає O(k log n) часу на запит, навіть якщо зрізи тісно пов’язані між собою та їх порядок сортування майже не змінюється від одного зрізу до іншого. Цей шаблон повторюється постійно: багаторівневі дерева діапазонів, структури для пошуку точок на площині, запити типу ‘stabbing interval’ та схеми багатошарового індексування в базах даних – усі стикаються з тією ж проблемою: для відповіді на одне логічне запит потрібна відповідь від кожного рівня ієрархії відсортованих даних. Втрачається зусилля, тому що кожен бінарний пошук по суті здається знову відкриває інформацію, яку попередній пошук вже передбачив, оскільки послідовні списки в цих застосунках зазвичай мають подібну структуру, відрізняючись лише кількома елементами, доданими, видаленими або зміщеними між рівнями.

Будівництво мостів: доповнення кожного списку зразками з наступного за ним списку

Крок побудови 'фракційної катастрофи' обробляє ланцюг списків від останнього до першого, доповнюючи кожен список додатковими зразками, витягнутими з наступного за ним списку. Конкретно, кожні інші елементи, приблизно половина, поточної версії списку i+1 вставляються у список i як елементи-міст, об'єднуються в відсоркований порядок списку i та позначені покажчиком назад до їхнього оригінального положення в списку i+1. Це означає, що доповнений список i приблизно такого ж асимптотичного розміру, як і вихідний, оскільки геометричні ряди зменшення розмірів зразків сумуються до постійного фактора, але тепер він несе вбудовані покажчики, вказуючи вперед у структуру наступного списку. Після цієї попередньої обробки кожен елемент у доповненому списку містить посилання на найближчий елемент-міст у наступному списку ланцюга, щоб коли ви знайшли позицію вашого запиту в одному доповненому списку, слідування за цим пов'язаним покажчиком приводить вас у невелику постійного розміру область правильної позиції в наступному списку, навіть без будь-якої інформації про конкретний вміст цього наступного списку.

Запит: один бінарний пошук, потім час-константні стрибки

З побудованою розширеною структурою, відповідь на запит щодо ключа x полягає спочатку у виконанні звичайного бінарного пошуку x у розширеній версії першого списку, що коштує зазвичай O(log n) часу. Потім, на кожному наступному рівні, замість пошуку з нуля, алгоритм слідує за посиланням мосту, пов’язаним із найближчим розташованим елементом, щоб переміститися в приблизну позицію у наступному розширеному списку, а потім виконує невеликий час-константний локальний пошук, зазвичай порівнюючи з двома або трьома сусідніми елементами, щоб точно визначити правильну позицію на цьому рівні. Оскільки щільність семплювання гарантує, що посилання мостів між послідовними рівнями розташовані близько один до одного відносно вже відомого району запиту, цей локальний коригування ніколи не потребує більше ніж O(1) порівнянь на рівень. Загальна вартість на k рівнів становить O(log n) для першого пошуку плюс O(k) для час-константних стрибків через решту рівнів, що є значним покращенням у порівнянні з невдалим O(k log n), особливо коли кількість рівнів k зростає відносно великою порівняно з розміром будь-якого окремого списку.

Чому це працює: інтуїція структури каталогу

Інтуїтивний спосіб зрозуміти фрагментацію вихлядування - уявити ланцюг каталогів для замовлення, де кожен каталог є відсортованим списком товарів, і кожен каталог додатково містить невелику кількість репрезентативних записів, відібраних із наступного каталогу в ланцюгу, разом із посиланням на сторінку в цьому каталозі. Якщо ти знаєш приблизне положення продукту в каталозі один, і каталог один також перераховує зразок із каталогу два майже біля цього місця, разом із номером сторінки в цьому каталозі, ти можеш майже безпосередньо перейти до відповідного району у каталозі два, не скануючи його від початку. Математика, що лежить в основі того, чому вибірка кожного другого елемента є достатньою, а не потрібно вибірково все, ґрунтується на тому факті, що проміжки між послідовними зразками у розширеному списку обмежені, тому незалежно від того, де знаходиться справжня відповідь між двома сусідніми зразками, позицію справжнього положення в нерозширеному наступному рівні списку можна знайти, перевіривши лише невелику фіксовану кількість сусідів навколо відомого місця цілі зразка, ніколи не потребуючи нового пошуку із невідомого початкового пункту.

Застосування за межами геометрії

Хоча фракційна каскадованість була розроблена для прискорення пошуку точок на плоских поверхнях та пов'язаних з цим алгоритмів геометрії, її основний шаблон – уникати повторного пошуку, коли ви знаєте приблизно, де шукати далі – проявляється в системах та проєктуванні алгоритмів у різних сферах. Дерева з розширеним діапазоном (layered range trees) для ортогональних запитів діапазонів у двох або більше вимірах використовують фракційну каскадованість між рівнями, щоб відповідати на багатовимірні запити майже за тим же часом, що й одновимірний бінарний пошук. Ітеративні алгоритми, які повторно запитують ланцюг версій змінюючоїся відсортованої структури, таких як деякі реалізації постійних даних, отримують вигоду від каскадних покажчиків між послідовними версіями. Навіть за межами формальної комп'ютерної науки ця ідея проявляється неформально в системах, які підтримують кілька відсортованих індексів над одним і тим самим або подібним набором даних, і хочуть уникнути непотрібних пошуків, таких як схеми багаторозрядної або багаторівневої індексації в базах даних та пошукових системах, де запит потрібно узгоджувати через ієрархію пов'язаних відсортованих представлень даних, які не зазнають значних змін між рівнями.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Fractional Cascading: One Binary Search Through Many Lists і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.