Рівняння Нав’єра-Стокс — Математика потоку рідини

Закон Ньютона, застосований до рідини

Розглядайте рідину як нескінченний середовий простір – це підходить для масштабів значно більших за середню довжину вільного переміщення повітряних молекул (~70 нм) — і рівняння Нав’є-Стокенса, що базуються на другому законі Ньютона, застосовуються до рідинного пакету: ρ(∂u/∂t + u·∇u) = −∇P + μ∇²u + f, у поєднанні з рівнням про збереження маси ∇·u = 0, яке вказує на те, що рідина не створюється і не знищується. Кожен член має чітке призначення: локальне прискорення, нелінійний терм перенесення u·∇u, який є джерелом майже всієї складності, сила градієнту тиску, в’язке дифузія та сили дії, такі як гравітація. Об'єднавши похідну за часом і перенесення з матеріальним диференціалом D/Dt та рівняння стає простим: ρ Du/Dt = −∇P + μ∇²u + f — маса помножена на прискорення дорівнює чистій силі.

Число Реноування: одна пропорція пояснює хаос

У 1883 році Осберт Рейнольдс ввів колір у течію труби та виявив різкий перехід від прямих струменів потоку до хаотичного змішування, коли збільшувалася швидкість. Контролюючий параметр, Re = ρUL/μ = UL/ν, є співвідношенням між інерційними силами (які підтримують рух та обертання ворітелів) та в’язкими силами (які гасять збурення). Нижче приблизно Re ≈ 2300 потік труби залишається ламівним; вище близько 4000 це повністю турбулентний. Щоденні приклади охоплюють величевний діапазон: бактерія, що плаває, має число Реноування приблизно до 10⁻⁴, де в’язкість повністю домінує і зупинка відбувається миттєво; крило комерційної літака працює близько Re ~ 10⁷–10⁸; океанські течії досягають Re ~ 10¹⁰.

Re = ρUL/μ = UL/ν
Kolmogorov microscale:  η = (ν³/ε)^(1/4)
Energy spectrum (inertial subrange):  E(k) ∝ ε^(2/3) · k^(−5/3)

Колійна каскада та відокремлення межі шару

Турбулентність здається випадковою, але має точну статистичну структуру. Теорія каскаду Андрія Колмогорова 1941 року зображує великі вихрі, що впроваджуються на інтегральному масштабі, розпадаючись на все менші та менші, передаючи енергію вниз без втрат, поки вони не досягнуть коломотрового мікромасштабу η = (ν³/ε)^(1/4), де в’язкість врешті-решт перетворює кінетичну енергію на тепло. У ін'ерійному діапазоні між цими масштабами спектр енергії слідує за відомою законом −5/3, підтвердженим у вітряках та сонячній атмосфері. Окремо, при високих числах Рейнольдса вплив в’язкості обмежується тонкою межею шару поблизу твердих поверхонь (Луї Праунда, 1904); коли тиск зростає у напрямку потоку, цей шар може перевернутися та відокремитися від поверхні, створюючи зону рециркуляції та стрибок опору — механізм, що лежить в основі звалищування крил і причиною випуклості м’ячів для гольфу, які сповільнюють відокремлення межі шару на ранніх етапах.

Розв’язок задачі Навієра-Стокса

У 2000 році Інститут Clay Математики назвав проблему існування та гладкості Навієра-Стокса однією з семи проблем Millennium Prize, кожна вартістю $1 мільйон — і її досі не вирішено. Питання: якщо задано гладкі початкові дані, чи існують гладкі 3D розв’язки на всі часи, або нелінійний член переносу може концентрувати енергію в структуру з будь-якою деталізацією швидше, ніж в’язкість її розсіює, створюючи обмежений за часом вибух? У двох вимірах гладкість доведена; у трьох вона справді відкрита, незважаючи на те, що існування протягом короткого часу відоме (Лерій, 1934), існують глобальні «розв’язки Лерія-Хопфа» без гарантованої унікальності або гладкості. У практиці це не зупиняє інженерів: Обчислювальна гідродинаміка (метод об'ємних елементів, метод різниці різностей, спектральні та методи Лоуренса-Бірля) розв’язує рівняння числом, з турбулентністю, моделізованою DNS, Large Eddy Simulation або промисловим робочим конем RANS — не вирішена проблема полягає лише в тому, чи можуть точні рівняння, буквально, ніколи не поводитися.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.