Фібонічна спіраль: послідовність, золотий переріз та квадрати, що її малюють

Правило: кожне число є сумою двох попередніх

Названа на честь Леонардо ді Піса — відомого під прізвиськом Фібоначчі — який представив її в Європі у 1202 році, ця послідовність слідує за однаковим, хоч і обманливо простим правилом: F(n) = F(n−1) + F(n−2), починаючи з F(1) = 1 та F(2) = 1. Додайте два останні члени, щоб отримати наступний, і ви генеруєте 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 та далі в нескінченність. Спочатку Фібоначчі описав послідовність через популяцію ідеалізованих кроликів у своїй книзі Liber Abaci — щомісяця кожна пара зрілих кроликів народжує нову пару, а загальна кількість пар кожного місяця дорівнює цій послідовності.

Золотий відсоток ховаєся в послідовності

Розділіть кожне число Фібоначчі на попереднє, і чим далі ви йдете, тим ближче цей відношення наближається до єдиного фіксованого значення — золотого відрізка, φ (фі):

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887… 89/55 ≈ 1.6182 144/89 ≈ 1.6180 233/144 ≈ 1.61806 (вже точне до 4 знаків після коми) Відношення ніколи не падає точно на φ, лише наближається до нього — але наближення відбувається надзвичайно швидко. Це не чисельний збій: воно випливає безпосередньо з розв’язування рекурентної залежності алгебраїчно, а φ є єдиним додатнім числом, яке задовольняє рівняння φ² = φ + 1, тобто φ буквально дорівнює одиниці плюс її власне обернене.

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887…
89/55  ≈ 1.6182
144/89 ≈ 1.6180
233/144 ≈ 1.61806  (already accurate to 4 decimal places)

Збирання квадратів: як вимальовується спіраль

Класична спіраль Фібоначчі будується геометрично, крок за кроком, використовуючи саму послідовність як довжини сторін. Намалюйте квадрат 1×1, потім поруч ще один квадрат 1×1. Разом вони займають межу 2 одиниць, тому наступний квадрат має розміри 2×2. Його сторона плюс попередня дає 3, отже, наступний квадрат має розміри 3×3 – далі 5×5, 8×8, 13×13, кожен з них точно дорівнює сумі двох попередніх квадратів, спіраючись навколо спільного кута. Введіть дугу четвертної окружності всередині кожного квадрата, від кутка до кутка, і дуги безперешкодно з’єднуються в одну безперервну криву: Фібоначчі спіраль.

Най«нелогічніший» число та чому воно має значення

Золотий перетин також є межею найпростішого можливого нескінченного дробу, [1; 1, 1, 1, 1,…], а його послідовні знаменники точно відповідають відношенням послідовних чисел Фібоначчі — 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8… Це робить φ доведеним реальним числом, яке найважче точно наблизити простим дрібком, оскільки його розклад у нескінченний дріб використовує лише одиниці – найповільніший можливий шаблон збіжності. Ця одна математична властивість – не естетика – пояснює, чому золотий перетин та послідовність Фібоначчі, що наближається до нього, проявляються скрізь, де потрібне уникнення чистих числових збіжностей, від кутів росту рослин до геометрії раковин.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.