Огибне згинання (Euler Buckling)

Два способи руйнування колони

Стисніть кінці короткої, товстої плитки і вона руйнується внаслідок розм’якшення – матеріал просто перевищує свою стиснуту міцність. Стисніть кінці довгої, тонкої колони та станеться щось зовсім інше: ще до того, як напруга матеріалу наблизиться до межі міцності, колона раптово згинається вбік і обрушивається. Це – ухиляння, нестабільність форми колон, а не руйнування самого матеріалу, і тому склянка для напоїв розламується в бік під навантаженням, яке ваші пальці майже не відчувають, тоді як такий самий матеріал, сформований у короткий штиль, може витримати величезні ваги.

Критичне навантаження Ейлера

Леонhard Еулер визначив навантаження, при якому загострений еластичний стовп стає нестабільним у 1757 році, проаналізувавши диференціальне рівняння для стовпа, який отримав невеликий бічний вигин, та поставивши питання: яке прикладене з боку поздовжнє навантаження зупиняє цей вигин від розповсюдження і замість цього збільшується? Під цим критичним навантаженням стовп стабільний і повертається у вихідне положення при будь-якому порушенні; над ним, навіть найменша неточність посилюється, і стовп деформується у вигляді згину.

Pcr = π² · E · I / (K·L)²

E   = Young's modulus of the material (stiffness)
I   = second moment of area of the cross-section (resistance to bending)
L   = actual (unsupported) length of the column
K   = effective-length factor, set by how the ends are restrained

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Довжина визначає - і кінцеві умови змінюють її вплив

Оскільки L^2 з'являється в знаменнику, міцність на усадку надзвичайно чутлива до довжини: якщо подвоїти довжину стовпа, його критичний навантаження зменшиться вчетверо, за інших рівних умов – набагато гірше, ніж лінійні залежності, які керують більшістю інших режимів руйнування конструкцій. Коефіцієнт ефективної довжини K враховує, як кінцеві опори змінюють форму, в яку змушений усаджуватися стовп. Стовп, закріплений по обидва боки (вільний від обертання, але не може переміщуватися), усаджується в один півсинусоїдальний хвиль і має K=1. Якщо зафіксувати обидва кінці від обертання, K падає до 0,5, що означає, що ефективна довжина усадки зменшується вдвічі, а критичне навантаження збільшується вчетверо для тієї ж фізичної довжини – це чисто наслідок обмеження кінців більше, без будь-яких змін у матеріалі або поперечному перерізі.

Стовп, закріплений з одного боку і повністю вільний з іншого (як флагштока), є найслабкою конфігурацією, з K=2.

Визначена форма власного коливання

Рівняння Ейлера технічно є задачею власних значень: критичне навантаження Pcr – це найменше власне значення, а сформована деталь розкладання – синусоїдальна крива для випадку фіксованої фіксованою опорою – відповідає власному коливанню. Існують й інші власні значення, що відповідають S-подібним та більш складним формам розкладання, але вони потребують значно більшого навантаження, ніж перше, і рідко досягаються на практиці, оскільки колона вже руйнується за допомогою першого (найнижчого) режиму набагато раніше, коли навантаження досягає такої величини.

Коефіцієнт обтіжності та коефіцієнт безпеки

Визначення, чи деформується колона від згинання або руйнування, залежить від її коефіцієнту обтіжності, KL/r, де r = √(I/A) є радіусом ваги поперечного перерізу. Вище матеріально-залежного порогу – приблизно 100 до 120 для звичайного будівельного сталі – колона достатньо обтіжна, щоб відбулося згинальне деформування за теорією Ейлера, і вона руйнується еластично, значно нижче межі міцності на розтягнення. Нижче цього порогу колона досить коротка та товста, щоб зруйнуватися від стиснення матеріалу до того, як згинальне деформування стає релевантним, і перехід між цими двома режимами сам є активною областю досліджень у нормативних документах, оскільки реальні колонни поблизу межі руйнуються комбінацією обох ефектів. Інженери застосовують коефіцієнт безпеки – зазвичай від 1,5 до 3 залежно від застосування – ділячи Pcr на цей коефіцієнт для отримання допустимого робочого навантаження, оскільки формула Ейлера є точною лише для прямої, центрованої ваги, а реальні колонни завжди мають невеликі недоліки, які зменшують їхню фактичну міцність нижче теоретичного значення.

Frequently asked questions

Чому подвоєння довжини стовпця зменшує його міцність на згин вчетверо?

Це пов'язано з тим, що критичний навантаження за формулою Ейлера є обернено пропорційним квадрату ефективної довжини: Pcr = π² * E * I поділене на (K * L)² . Підвоєння L ділить значення дорівнює чотирьом, коли його підносять до квадрата, тому критичне навантаження падає вчетверо відносно початкового значення - довжина має значно більший вплив, ніж будь-який інший параметр у формулі.

Чому кінцеві умови мають таку велику вагу для згину?

Кінцеві умови визначають, наскільки повна хвиля синуса згину змушує стовпець, що відображається фактором ефективної довжини K. Стовпецi з умовами «пін-пін» (K=1) згинаються в один півхвилі синуса, а стовпці з умовами «фікс-фікс» (K=0,5) настільки обмежені, що їх ефективна довжина згину становить лише половину фактичної довжини, що робить їх чотири рази міцнішими за ті самі фізичні розміри - виключно через те, як кінці утримуються, без зміни матеріалу чи перерізу.

Як визначити, чи згинатиметься стовпець або просто буде розірваний?

Порівняйте відношення товщини KL/r (ефективну довжину поділену на радіус усереднення) з критичним значенням, встановленим матеріалом. Для конструкційної сталі вище приблизно 100-120 стовпець тендітний і згини керують, зазвичай руйнуються при напрузі значно нижчій за межу текучості матеріалу. Нижче цього порогу стовпець достатньо короткий і міцний, щоб він розірвався - досягаючи компресивної міцності матеріалу - перш ніж у нього буде шанс згнутися вбік.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Euler Buckling і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію Euler Buckling

Огибне згинання (Euler Buckling): Чому Тонкі Стовпи Згинаються, а Не Розколюються