Вектори власної осі та власні значення

Визначник рівняння

Матриця A зазвичай змушує вектор відхилитися від початкової його лінії — вона обертає, розтягує або обидва ці процеси. Вектори власні матриці A є особливими ненульовими векторами v, які матриця впливає лише розтягуванням або стисненням, ніколи не змушує відхилятися від своєї лінії: Av = λv, де скаляр λ — відповідне власне значення. Геометрично, вектори власні є незмінними осями лінійного перетворення — ціла система координат, яку матриця вважає чистою масштабуванням.

A v = lambda v
(A - lambda I) v = 0,   v != 0   requires   det(A - lambda I) = 0

Характеристичний поліном

Для 2x2 матриці розширення det(A - λI) = 0 дає квадратичну функцію від λ, коефіцієнти якої є сумою діагональних елементів (трацом) та визначник матриці. Розв’язування цієї квадратичної функції безпосередньо надає власні значення, а дискримінант дозволяє визначити тип власних значень ще до завершення обчислень.

for A = [[a, b], [c, d]]:

lambda^2 - (a+d) lambda + (a*d - b*c) = 0

lambda = [ (a+d) +/- sqrt( (a+d)^2 - 4(a*d - b*c) ) ] / 2

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Складні та повторні власні значення: обертання та зсув

Коли визначник від’ємний, два власні значення є комплексними двійками, що є способом алгебри повідомити вам, що матриця не має жодного дійсному інваріантного напрямку — це обертання, поєднане зі масштабуванням, а чистий обертовий матриці мають власні значення e^(+/-i*theta), які знаходяться на одиничному колі в комплексному плані. Повторне дійсне власне значення є іншим окремим випадком: якщо матриця випадково діагональна, вона діє як однорідне масштабування у всіх напрямках (еліпс знову стає колом), але якщо вона «нездійснена», вона поводиться як зсув, який потребує загальновизначеного власний вектор для повного опису, оскільки один власний вектор не може охопити весь простір поведінки площини.

Чому коло стає еліптичним, вирівняним з власними векторами

Для симетричної матриці теорема спектрального розкладу гарантує дійсні власні значення та взаємоперпендикулярні власні вектори. Застосуйте цю матрицю до кожної точки на одиничному колі, і кожна точка буде розтягнута на величину, рівну власному числу, яке визначає напрямок, в якому вона знаходиться найближче, тому коло деформується в еліпс, осі якого точно збігаються з власними векторами, з піввісями, довжиною рівними абсолютним значенням власних значень. Це геометричне ядро сингулярного розкладу та PCA (див. візуалізатор PCA на цьому сайті): головні осі трансформованої фігури виявляють власні координати матриці.

Де це зустрічається: PCA, стабільність, режими вібрації

Метод головних компонент розгортає діагональну матрицю коваріації набору даних; його власні вектори – це напрямки максимальної варіативності, а власні значення – варіативність, пояснена вздовж кожного з них. Аналіз стабільності нескінченно-вимірних систем щодо їхніх нескінченних точок (див. статтю про фазовий портрет на цьому сайті) читає знак і тип власних значень Якобіана, щоб класифікувати нескінченну точку як вузол, спіраль, saddle або центр.

У структурній інженерії природні режими вібрації та резонансні частоти мосту чи будівлі буквально є власними векторами та власними значеннями матриць жорсткості та маси – три дуже різні галузі, але за ними лежить однакова алгебра.

Frequently asked questions

Що означає для матриці мати комплексні власні значення?

Це означає, що немає реального напрямку, в якому матриця просто розтягує без обертання. Комплексні власні значення завжди приходять у кон'югованих парах для дійсної матриці, і геометрично вони сигналізують про те, що перетворення включає обертальну компоненту, таку як чиста обертовий матриця, власні значення яких знаходяться на одиничному колі в комплексній площині під кутом, рівним куту повороту.

Чому одиничне коло перетворюється на еліпс, вирівняний з власними векторами?

Для симетричної матриці спектральна теорема гарантує дійсно ортогональні власні вектори. Застосування матриці до кожної точки на одиничному колі розтягує коло на фактор, що дорівнює кожному власному значенню, точно вздовж свого власного вектора напрямку, і оскільки ці напрямки перпендикулярні, результатом є еліпс, осі якого спрямовані вздовж власних векторів, а довжина піввісі дорівнює абсолютним значенням власних значень.

Як власні вектори використовуються в аналізі головних компонент?

PCA діагонализує матрицю коваріації набору даних. Її власні вектори – це напрямки головних компонент – осі, вздовж яких дані змінюються найбільше, а її власні значення дорівнюють дисперсії, поясненій вздовж кожного з цих напрямків, тому сортування власних значень від найбільшого до найменшого ранжує компоненти за тим, наскільки вони захоплюють розповсюдження набору даних.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Eigenvectors & Eigenvalues і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію Eigenvectors & Eigenvalues

Вектори власної осі та власні значення: напрямки, які матриця не обертає