Похідна як ліміт: Від дотичних ліній до похідних нахилів

Нахил, який неможливо намалювати лінійкою

Нахил прямої лінії легко обчислити: різниця висот поділена на різницю відрізків. Крива ж не має єдиного нахилу – її крутизна змінюється в кожній точці, і до 17 століття не існувало строгого методу для її визначення. Диференціал – це такий метод: миттєвий темп зміни функції в певній точці, який визначається не вимірюванням двох точок на кривій, а межею процесу, що стискає дві точки в одну.

Дотична лінія та що відбувається, коли вона стискається

Виберіть точку x0 на кривій y = f(x) та іншу точку, розташовану на невелику відстань h далі вздовж кривої, при x0 + h. Лінія, яка проходить через ці дві точки – дотична лінія – має звичайний нахил, який можна виміряти за допомогою лінійки: зміна y поділена на зміну x.

Нахил дотичної лінії через точки (x0, f(x0)) та (x0+h, f(x0+h)): m(h) = [f(x0 + h) - f(x0)] / h Коли h наближається до 0, дві точки зливаються і дотична лінія обертається в напрямку до торцевої лінії у точці x0. Це вся суть похідної: візьміть нахил дотичної лінії m(h) та запитайте, яке число він наближається, коли h наближається до нуля, не встановлюючи фактично значення h рівним нулю (ділення на нуль невизначене). Це межа, формально записана в наступному визначенні – єдина найважливіша формула в обчисленні.

slope of the secant through (x0, f(x0)) and (x0+h, f(x0+h)):

  m(h) = [ f(x0 + h) - f(x0) ] / h

as h shrinks toward 0, the two points merge and the secant
rotates toward the tangent line at x0

Чому межа необхідна, а не просто зручна

Ви можете запитати, чому не просто підставити h = 0 у формулу секунти. Це дає 0/0, невизначену форму, яка сама по собі не несе жодної інформації. Процес знаходження межі рятує змістовне число з цієї невизначеної пропорції: чисельник f(x₀+h) - f(x₀) також наближається до нуля, коли h зменшується, і для гладкої функції обидва члени зменшуються порівну, тому їхній відношення стабілізується у кінцеве значення, незважаючи на те, що обидва окремо зникають. Це розв’язує те, що математики колись називали парадоксом миттєвої швидкості – стріла Зено не має руху в один конкретний момент часу, але похідна дає ідеально визначену миттєву швидкість.

Від формули до графіка

Для конкретного прикладу розглянемо функцію f(x) = x у квадраті. Нахил секанси обчислюється як (2x0 + h), і коли h наближається до нуля, цей вираз плавно переходить до 2x0, при цьому не залишається невизначених величин – отже, похідна від x у квадраті дорівнює 2x, знайомий результат за законом про степені. Графічно, секансна лінія, що проходить через дві сусідні точки на параболі, візуально обертається та скорочується, коли друга точка наближається до першої, поки в межі не перетворюється на єдину дотичну лінію, яка торкається кривої в одній точці. Цей колапс секанси точно ілюструє анімація вищезазначеного демо для будь-якої кривої: переміщуйте точку, зменшуйте h та спостерігайте, як секанса стає дотичною.

Односторонні границі та місця, де похідна не існує

Визначення вимагає, щоб межа була однаковою, незалежно від того, з якої сторони h наближається до нуля – з позитивної чи негативної. У гострому куті, такому як функція абсолютного значення при x = 0, ліва та права межі не збігаються (нахили становлять -1 і +1), тому немає єдиного дотичного рівняння, і функція не має похідну в цій точці, хоча вона і є безперервною. Вертикальні дотичні викликають подібний збій: нахил секунди прямує до нескінченності, а не стабілізується у фінітному числі. Тому диференційовність є суворо більш жорстким вимоги, ніж безперервність – кожна диференційована функція є безперервною, але багато безперервних функцій мають кути, виточки або вертикальні дотичні, де похідна не існує.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Derivative Visualizer і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.