Модель Дебая: Чому Теплоємність Паде як T³

Загадка в даних 19-го століття

Дюлон і Петит помітили у 1819 році, що більшість твердих речовин мають однакову молярну теплоємність, приблизно 3R ≈ 25 Дж/(моль·K), якщо температура знаходиться при кімнатній. Класична фізика пояснює це елегантно за допомогою теореми про рівномірне розподіл енергії: кожен атом вібрує в трьох вимірах, кожен вимір діє як пружина, яка зберігає як кінетичну, так і потенційну енергію, і кожен з цих шести квадратичних членів енергії становить ½k_B теплоємності — шість половинок дають 3k_B на атом, 3R на моль. Це чисте, безпараметричне передбачення, і воно працює — доки не охолоджується зразок. Теплоємність усіх виміряних твердих речовин значно падає нижче 3R при низькій температурі та сходиться до нуля, коли T → 0, що суперечить теорії, яка взагалі не залежить від температури.

Визначення енергії квантом, і де це все ще не зовсім

Ейнштейнів відповідь 1907 року полягала в квантуванні коливань: кожен атом коливається як квантовий гармонічний осцилятор з єдистою частотою f, і режим може утримувати енергію лише в одиницях hf. При низькій температурі k_BT набагато менше ніж квантний hf, тому режим майже завжди знаходиться в основному стані і не може поглинути невелику кількість додаткового тепла — він замерз. Це правильно передбачає, що теплоємність падає при низьких температурах та отримує правильне значення Dulong-Petit при високих температурах. Єдине, що воно неправильно передбачає - це форма цього падіння: модель Ейнштейна падає експоненціально, набагато швидше ніж реальні вимірювання, оскільки вона припускає, що кожен атом коливається з однією ідентичною частотою.

Дебюсовский континуум: спектр, а не единая нота

Уточнение Дебая 1912 года заключалось в том, чтобы прекратить представление о каждом атоме как о независимом вибрирующем объекте и вместо этого рассматривать весь кристалл как упругий континуум, поддерживающий звуковые волны. Эти волны представляют собой целый спектр частот, от длинных, медленных длин волн, охватывающих весь образец, до максимальной частоты, определяемой тем фактом, что волне не может быть длины волны меньше примерно в два раза расстояния между атомами — вы не можете разрешить более мелкую дрожь, чем сетка, на которой она находится. Подсчитывая количество стоячих мод ниже заданной частоты f таким образом, как подсчитываются моды света в коробке, и квантуя каждую из них как отдельного осциллятора, получается плотность состояний, которая возрастает пропорционально f² и резко отсекается на частоте Дебая f_D.

g(f) df  =  (9N/f_D^3) f^2 df        for 0 < f < f_D   (density of modes)
Theta_D  =  h f_D / k_B              (the Debye temperature)

C_V(T)   =  9N k_B (T/Theta_D)^3  INTEGRAL[0, Theta_D/T]  x^4 e^x / (e^x - 1)^2  dx

low T  (T << Theta_D):   C_V  ~  T^3
high T (T >> Theta_D):   C_V  ->  3N k_B      (Dulong-Petit)

Чому T^3, зокрема

При низьких температурах лише режими з hf ≲ k_BT можуть бути тепловодом, отже, ефективно лише режими нижче певної частоти, пропорційної T, сприяють нагріванню. Оскільки щільність мод також зростає як f², кількість "активних" мод нижче цієї межі масштабується як T³, і кожен з цих активних мод приблизно вносить k_B до теплоємності за аргументом класичного поділу на рівні енергії — помножте їх разом, і вся теплоємність масштабується як T³. Це відомий закон Дебая T^3, який добре узгоджується з реальними калориметричними даними для діелектриків та простих металів (після окремого врахування внеску електронного газу, лінійного залежного від T), ніж одночастотний образ Ейнштейна.

Температурна характеристика Дебая як відбиток матеріалу

Один вільний параметр, температура Дебая Θ_D = hf_D/k_B, об’єднує швидкість звуку в матеріалі та щільність атомів — більш жорсткі зв’язки та легші атоми підвищують максимальну частоту вібрації, і відповідно Θ_D. Діамант, з його надзвичайно жорсткими ковалентними зв’язками та легкими атомами вуглецю, має температуру Дебая понад 2200 K, що означає, що він залишається близько класичного режиму Дюлонга-Петі до дуже високих температур і лише дуже близько від абсолютної нуля зменшує свою теплоємність. М’які, важкі метали, такі як свинець, мають температуру Дебая нижче 100 K, тому їхня теплоємність вже глибоко в класичному плато при звичайній кімнатній температурі. У сучасних вимірах, фонони — квантовані коливання решітки, які описує схема підрахунку Дебая, є стандартною мовою для теплоємності, теплопровідності та електрон-фононного взаємодії в твердих тілах далеко за межами початкового 1912 року Дебая.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Debye Model і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.