Циклічні клітинні автомати: Спіральні хвилі з шуму

Одна умова, гарантований порядок

Заповніть сітку однорідними випадковими цілими числами від 0 до K-1 і застосуйте одну локальну правило: клітина переходить у наступний стан, якщо будь-який сусід вже несе цей наступний стан. Запустіть це протягом кількох сотень синхронних кроків, і станеться щось вражаюче — шум організовується в обертаючі спіральні хвилі, які зберігаються безперервно. Це циклічний клітинний автомат (ЦКА), найпростіша обчислювальна модель збуджельного середовища: система, де локальне порушення запускає самопідживлювальну хвилю, яка тимчасово перезавантажується перед повторним спалахом.

Модель Грінберга-Гастінгса

Формалізовано Грінбергом та Гастінгсом у 1978 році, кожна клітина несе стан s ∈ {0, 1, …, K−1}: стан 0 – це стан спокою, а стани 1…K−1 – послідовні збуджені/відновлювані етапи, які циклічно змінюються. Синхронне правило оновлення таке:

s'(c) = (s(c)+1) mod K якщо принаймні θ сусідів має стан (s(c)+1) mod K s'(c) = s(c) інакше // сусідство: Морс (8 клітин) або фон Неймана (4 клітини); поріг θ З фон Неймановим сусідством і K ≥ 3, Фіш, Гравнер та Гріфеат у 1991 році довели, що CCA починається з випадкових початкових умов із ймовірністю 1, формуючи постійні спіральні хвилі – це спіралі є унікальним хазятором динаміки, а не випадковим результатом.

s'(c) = (s(c)+1) mod K   if at least θ neighbours have state (s(c)+1) mod K
s'(c) = s(c)             otherwise
// neighbourhood: Moore (8 cells) or von Neumann (4 cells); threshold θ

Як утворюється спіраль

Утворення спіралі відбувається за точним триетапним процесом. По-перше, нуклеація: локальний фрагмент випадкового шуму випадково формує монотонно зростаючу послідовність в одному напрямку, і ця "початкова хвиля" розширюється назовні як цільове кільце. По-друге, розпад: коли площинна фронтова хвиля зустрічається з областю вже іншої фази, фронт розривається, а його вільні кінці закручуються всередину – це закручені кінчики є топологічними дефектами, де зустрічаються всі K-стани в точці, і вони стають обертовою основною частиною спіралі. По-третє, анігіляція: спіралі протилежної хіральності знищують один одного при зіткненнях, тому виживають ті, які відкрили достатньо території, щоб перехитрити конкурентів. Період обертання приблизно дорівнює T ≈ K крокам, а довжина хвилі приблизно λ ≈ K клітин, отже, чим більше станів, тим повільніші та більші спіралі.

Три числа контролюють все

Якісний характер поведінки CCA визначається лише трьома параметрами. Більше значення K (станів) означає довший період рефрактерності, більші спіралі та повільнішу швидкість обертання. Більше значення θ (порогового рівня) ускладнює активацію клітин, що призводить до меншої кількості, але більших спіралей — θ = 1 є найбільш активним, а вище приблизно K/4 автомати не утворюють спіралей взагалі та застигають у статичному стані. Морева сусідність (8 клітин) швидше поширює хвилі та створює більш складні кінцеві точки, ніж сусідність фон Неймана (4 клітини). Аналіз Гравнера та Гріфета 1993 року розділяє простір параметрів (K, θ) на фазу занепаду, хаотичну транзиторну фазу та стабільну фазу, де спіралі утворюються неминуче і ніколи не зникають.

Однакові математичні закони, що лежать в основі роботи серцевого м'язу

Спіральні хвилі не є просто дивом точкових клітинних автоматів – ті ж самі динаміки, властиві збудженим середовищу, спостерігаються у хімічній реакції Белоусова-Жаботинського, в колоніях слизеподібного моху, які сигналізують за допомогою імпульсів cAMP, і, що більш серйозно, у клітинах серцевого м'язу: реентрантна спіральна хвиля електричної активації в серцевому м’язі є механізмом розвитку мертвої фібриляції. Навколо кожного кінчика спіралі дискретне поле станів обертається на рівно ±2π, що надає йому збережений топологічний заряд ±1 – математично еквівалентний воронці в надплинному рідинах або дис локації в кристалічній решітці. Ця топологічна захищеність пояснює, чому окрема спіраль, утворена, практично ніколи не зникає самостійно: для її знищення потрібен партнер з протилежною опрічницею.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.