Зростання кристалів: випадкові ходи, що будують фрактальними кристалами

Випадковий рух, який ніколи не відпускає

Моделі дифузійно-обмеженого агрегації (DLA) описують, як утворюються кристали, сажа, мінеральні відклади та метали після електроплавлення, коли визначальним фактором є не само стягування частинок, а й швидкість їх появи на поверхні. Рецепт майже безглуздо простий: кидають зернового елемента в центр, випускають нову частинку далеко, дозволяють їй блукати випадковим шляхом — браунівським рухом без переважного напрямку, і щойно вона торкається зростаючого кластеру, застигає назавжди. Повторюють тисячі разів.

Це було формалізовано Томасом Віттеном та Леонардом Сандером у 1981 році і відтворює те, що роблять справжні кристали та розряди, схожі на блискавку: галуження, фрактальний ріст замість гладкого, щільного зростання. Частинка, що прямує до нерівного кластеру, статистично набагато ймовірніше зіткнеться з поглибленим виростом, ніж зачепиться за глибоку западину — вигин «екранує» западини від прибулих частинок. Ця одна асиметрія, повторювана тисячами прибульців, перетворює випадковий процес на самоподібний галужений фрактал із виміром приблизно 2,5 у 3D (приблизно 1,71 у 2D) — значно нижче за 3 виміри твердого, простір-заповнюючого зростання.

Реальні кристали додають правило: решітка

Чисті DLA примушують частинки ховатися, де їх посадили, що дає реалістичний вигляд сажі та гілок, але не різкі грані справжнього мінералу. Реальні кристали також дотримуються решітки — повторної структури атомів, закріпленої хімією матеріалу. Ця симуляція «прив’язує» кожен прибулець частинку до найближчого місця обраної решітки перед заморожуванням її:

кубічна – 6 найближчих сусідів, кути в 90° (сіль, пірит)

гексагональна – 6-кратна симетрія в площині; (кварц, лід, сніжинки)

ПАТ – 12 найближчих сусідів, щільне розташування; (багато металів, мережі, схожі на алмази)

Обмежуючи ріст решіткою, пояснюється, чому сніжинки відомі своїми шестигранними формами: молекули води утворюють гексагональну решітку, тому всі гілки ростучої кристала льоду розгалужуються в кількості 60°, і оскільки всі шість гілок відчувають майже однакові температури та вологість під час росту, вони схильні розвиватися майже ідеально синхронно один з одним.

cubic     — 6 nearest neighbours, 90° angles      (rock salt, pyrite)
hexagonal — 6-fold symmetry in a plane             (quartz, ice, snowflakes)
FCC       — 12 nearest neighbours, close-packed     (many metals, diamond-like nets)

Початок: чому потрібен початковий етап росту

Перш за все, кристалу потрібна ядрова структура, з якої він починає зростати. Класична теорія ядерного утворення розглядає первинний кластер атомів як боротьбу між енергіями: формування твердого поверхні потребує енергії (поверхневого напруження), а перехід з рідкого/газу в твердий вивільняє енергію. Нижче критичного радіусу r* поверхнева вартість домінує, і невеликий кластер більш ймовірно розчиняться назад, ніж рости; вище r*, вивільнення енергії в масі перемагає, і зростання стає самопідтримуваним. Це саме пояснює, чому на холодних вікнах утворюється туман лише там, де вже є пилинка або подряпина, щоб почати утворення, та чому переохолоджене вода може залишатися рідкою навіть нижче 0°C доки щось – вібрація, частинка пилу, крихітка льоду – не дає їй ядро для початку.

Шар за шаром, вершина за вершиною

Відображення шарами-за-шарами по глибині, яке використовується на цій сторінці симуляції, є безпосередньою візуалізацією історії росту: частинки, які прилипли раніше, знаходяться в основі фракталу, а частинки, які прилипли нещодавно, розташовані на його зовнішніх, найбільш відкритих вершинах. Оскільки ці вершини є частинами, що найбільше піддаються впливу випадкових перебіжників, вони також ростуть найшвидше – це зворотний цикл «багатий стає багатшим», який є справжньою математичною причиною того, чому зграї DLA утворюють гілки замість того, щоб заповнювати їх твердим матеріалом.

Процеси дифузії-обмеженого росту за межами лабораторії

Однакова механіка випадкового ходу - потім фіксація керує ростом мінеральних дендритів у тріщинках порід, відгалуження металів, електропласування в несправному акумуляторі, агрегати сажі в полум'ї свічки, а також деякі моделі росту бактеріальних колоній на підсохлій тарі. Десь де ріст обмежується не готовністю матеріалу до зчеплення, а швидкістю випадкового дифузійного проникнення з відстані, ви отримаєте однакову фрактальну структуру відгалуження, незалежно від того, чи є "частинки" атомами, іонами або цілими клітинами.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Crystal Growth і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.