З’єднані Осцилятори: Нормальні Моди та Фізика Гудіння

Два пружини, дві маси, одна спільна історія

Візьміть дві ідентичні маси на пружинах, кожна закріплена в стіні, а потім з’єднайте дві маси третьою, слабшою пружиною. Кожна маса окремо билася зі своєю власною природною частотою, яка є квадратним коренем від k до m.

З’єднавши їх, система перестає мати одну природну частоту – вона має рівно дві, які називаються нормальними режимами, і кожне можливе положення двох мас є комбінацією лише цих двох закономірностей.

Рівняння руху

З використанням жорсткостей пружин k1 та k2 для зовнішніх пружин, з’єднувальної пружини k_c між масами, та рівних мас m, другий закон Ньютона для кожної маси дає пару спарованих лінійних диференціальних рівнянь (ДР):

m⋅x1'' = -k1⋅x1 - k_c⋅(x1 - x2)

m⋅x2'' = -k2⋅x2 - k_c⋅(x2 - x1)

Симетричний режим: x1 = x2 → ω_sym = √(k/m) (з’єднувальна пружина ніколи не розтягується)

Антисиметричний режим: x1 = -x2 → ω_anti = √((k + 2⋅k_c)/m) (з’єднувальна пружина протидіє обом масам)

У симетричному режимі обидві маси рухаються синхронно, в одному напрямку з однаковою амплітудою, тому довжина з’єднувальної пружини не змінюється і вона ніяк не впливає на силу відновлення – пара коливається з точною частотою одномасової системи.

У антисиметричному режимі маси рухаються протилежними напрямками, тому з’єднувальна пружина розтягується та стискається вдвічі сильніше, ніж для однієї маси поодинці, що підвищує частоту. Ці дві частоти, і лише ці дві, є нормальними режимами системи: початкові умови, які є чистою комбінацією x1=x2 або x1=-x2, залишаються строго синусоїдальними назавжди, з однією частотою, без перешкод (безу).

m·x1'' = -k1·x1 - k_c·(x1 - x2)
m·x2'' = -k2·x2 - k_c·(x2 - x1)

symmetric mode:      x1 = x2      → ω_sym  = √(k/m)              (coupling spring never stretches)
antisymmetric mode:  x1 = -x2     → ω_anti = √((k + 2·k_c)/m)     (coupling spring fights both masses)

Злиття: що відбувається при будь-якому іншому стартовому положенні

Практично будь-яке реальне початкове положення – скажімо, лише відхилення однієї маси та вивільнення обох з положення спокою – не є чистою нормальною модою. Це суперпозиція обох мод, і загальне рішення комбінує обидва частоти мод за допомогою тригонометричної тотожності «продукт-в-суму»:

x1(t) = A·cos(ω_sym·t) + A·cos(ω_anti·t) x2(t) = A·cos(ω_sym·t) - A·cos(ω_anti·t) використовуючи тотожність «продукт-в-суму»: x1(t) = 2A·cos((ω_anti-ω_sym)/2 · t) · cos((ω_anti+ω_sym)/2 · t) Ця остання лінія є ознакою злиття: швидке коливання на середній частоті, з амплітудою, що повільно модулюється більш повільною обгорткою на частоті різниці. Оскільки зв’язний пружинний елемент k_c зазвичай слабкий, обидва частоти мод близькі одна до одної, тому період обгортки значно більший за період коливання – ви чуєте (або бачите) швидке збудження, загальний розмір якого повільно збільшується та зменшується. Енергія обмінюється назад і вперед між двома масами на частоті злиття: коли амплітуда маси 1 близька до максимуму, амплітуда маси 2 близька до нуля, а через період злиття ролі поміняються.

x1(t) = A·cos(ω_sym·t) + A·cos(ω_anti·t)
x2(t) = A·cos(ω_sym·t) - A·cos(ω_anti·t)

using the product-to-sum identity:
x1(t) = 2A·cos((ω_anti-ω_sym)/2 · t) · cos((ω_anti+ω_sym)/2 · t)

Змушення поза резонансом

Додайте періодичну силу навантаження до однієї маси з частотою ω_д, і стабільна відповідь характеризується піками резонансу поблизу обох частот нормальних режимів. У спареній системі двох мас існує два резонанси, тоді як одномаса має лише один. Якщо сила навантаження знаходиться точно між цими резонансами, то відповіддю є суміш обох нормальних режимів, що одночасно збуджуються, що знову призводить до інтерференції (бегу), але тепер підтримується зовнішнім джерелом напруги та не затухає через фазові взаємозв’язки одного з режимів. Якщо сила навантаження знаходиться близько до одного нормального режиму, то цей режим домінує у відповіді, а інший майже не збуджується – це прямий спосіб ізолювати та виміряти окремий режим експериментально.

Чому це узагальнюється на майже все

Дві маси – найпростіший нетривіальний випадок, що стосується значно більшої ідеї: будь-яка лінійна система N закорельованих осциляторів має рівно N нормальних мод, кожна з яких є незалежним, небійчастим розв’язком, і будь-яке рух системи є деякою суперпозицією їх. Додайте третю масу, і ви отримаєте три моди; прийміть межу з нескінченною кількістю, малоскоротівних закорельованих мас, і нормальні моди стануть стоячими хвилями безперервної нитки або резонансами кімнати. Молекулярні коливання, закорельовані підвісні годинники (як відомо, синхронізуються через спільну опору, як помітив Гюйгенс у 1665 році), та спектри вібрацій, що використовуються в інфрачервоній спектроскопії – це всі приклади однієї нормальної моделі математики, яка починається з двох мас і двох пружин.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Coupled Oscillators і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.