Продовження дробів та Золотий відношення

Що таке розкладання на дроби

Розкладання на дроби (розкладний дріб) представляє число як цілу частину плюс дріб, знаменник якого знову ж таки є цілою частиною плюс дріб, і так далі. Раціональне число 415/93 розкладається у вигляді [4; 2, 6, 7]. Розкладний дріб завершується після кінцевої кількості кроків лише тоді, коли початкове число є раціональним – нераціональні числа дають нескінченні розклади, які ніколи не закінчуються.

415 / 93 = 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) = [4; 2, 6, 7] Обрізання розкладу дає чудові раціональні наближення, які називаються збіжними. Кожна збіжна доводиться найкращим можливим раціональним наближенням для будь-якого знаменника не більше за її власний – властивість, якої немає у звичайних десяткових дробів.

415 / 93 = 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) = [4; 2, 6, 7]

Чому φ є найменш раціональним числом

Золотий відрізок задовольняє рівнянню φ = 1 + 1/φ. Підставляючи все вираз назад у себе, повторювано, отримується нескінченний розклад дробу, що складається повністю з одиниць:

φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + …))) = [1; 1, 1, 1, …] φ² − φ − 1 = 0 → φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887 Великі часткові дроби означають, що збіжність вже дуже хороша, оскільки наступне коригування буде надзвичайно малим. Розширення φ містить найменші можливі дрібці – лише одиниці – тому його збіжні покращуються так само повільно, як і будь-який інший число. Це точне, доведене розуміння того, в якому сенсі φ є найменш раціональним числом з усіх.

φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + …))) = [1; 1, 1, 1, …]
φ² − φ − 1 = 0  →  φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Діагоналі Фібоначчі та золотий кут

Поступове обрізання [1; 1, 1, …] дає 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 – відношення послідовних чисел Фібоначчі, які коливаються навколо φ і поступово наближаються до нього. Оскільки φ так вперто чинить опір раціональному наближенню, розміщення кожного нового насіння або листка під золотим кутом (≈137,5°, повний оберт, поділений за золотим відношенням) гарантує, що послідовні органи ніколи не вирівняються – щільне, безперервне спіральне пакування, яке спостерігається у соняшниках і соснових шишок. Продовжені дроби також пояснюють, чому 22/7 та 355/113 так добре наближають π: розширення π містить великі ранні часткові дроби, на відміну від розширення φ.

Часті запитання

Чому золотий перетин називають найменш раціональним числом?

Його розклад у вигляді нескорохуючихся дробів складається повністю з одиниць, [1; 1, 1, 1, …], найменших можливих значень. Великі члени роблять число легким для наближення дробами; з лише одиницями золотий перетин чинить більш впертої опір раціональному наближенню, ніж будь-яке інше число.

Як золотий перетин пов'язаний із послідовністю Фібоначчі?

Збіжники розкладу у вигляді нескорохуючихся дробів золотого перетину є точно співвідношеннями двох послідовних чисел Фібоначчі: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5 і так далі. Чим далі йдете, тим більше ці відношення наближаються до фі, яке дорівнює (1 + √5) / 2.

Чи завжди завершуються розклади у вигляді нескорохуючихся дробів?

Розклад у вигляді нескорохуючихся дробів завершується тоді і тільки тоді, коли число раціональне. Нераціональні числа дають нескінченні розклади у вигляді нескорохуючихся дробів; квадратичні нераціонали, такі як золотий перетин, створюють ті, що зрештою періодичні.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію the simulation