Умовна ймовірність та незалежність: пояснення

Визначення умовної ймовірності

Умовна ймовірність відповідає на дуже конкретне питання: якщо ми вже знаємо, що сталася подія B, то яка ймовірність події A? Вона записується як P(A | B), що читається як «ймовірність A за умови B», і визначається як

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), за умови, що P(B) > 0.

Інтуїція полягає в зменшенні простору вибірки. Коли відомо, що сталася подія B, всі результати поза межами B стають неможливими, тому B ефективно стає новою всесвітом. Ймовірність A за умови B тоді просто є часткою цього нового, меншого всесвіту, яку займає A – перетин A ∩ B, що нормалізується так, щоб P(B) дорівнювала 1. Ця нормалізація необхідна, а не додаткова: без неї числа більше не сумували б до 1 у новому зменшеному просторі вибірки.

Множинне правило та дерева ймовірностей

Переформулювання визначення дає множинє правило: P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) = P(B | A) · P(A). Це основа для дерев ймовірностей у послідовних експериментах. Намалюйте гілку першого етапу для кожного результату першого події, позначте її безумовним ймовірністю, а потім намалюйте гілки другого етапу, позначені ймовірністю другої події за умови першої. Множення вздовж будь-якого повного шляху від кореня до листка дає спільну ймовірність цього конкретного ряду результатів, і оскільки дерево враховує всі можливі шляхи, ймовірності листків завжди сумують до 1.

Це природним чином поширюється на більше ніж два етапи за допомогою правила ланцюга: P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1) · P(A2 | A1) · P(A3 | A1 ∩ A2) · ... · P(An | A1 ∩ ... ∩ An-1). Витягування карток без заміни є класичним прикладом: ймовірність витягнути три трішки поспіль з стандартної колоди становить (4/52) · (3/51) · (2/50), оскільки кожен витяг змінює склад решти колоди і, відповідно, умовну ймовірність наступного події.

Незалежність: сильна припущення під виглядом

Події А та В є незалежними, якщо знання однієї з них нічого не говорить про іншу: формально, P(A | B) = P(A), що алгебраїчно еквівалентно чистішому, симетричному умову P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Ця друга форма використовується майже завжди на практиці, оскільки вона працює навіть коли P(B) = 0, де визначення умовного коефіцієнта ділилося б на нуль.

Незалежність є значно сильнішим твердженням, ніж люди зазвичай сприймають. Дві послідовні кидки чесного монетки є незалежними, оскільки монета не має пам'яті. Але більшість реальних випадків "коінцідентності", які люди називають незалежними, не є такими: чи йде дощ сьогодні та чи йде дощ завтра корельовані через погодні системи; оцінки двох студентів на іспитах корелюють через спільну якість викладання; щоденні прибутковість двох акцій корелює через спільне ринкове та секторне вплив. Розгляд корельованих подій як незалежних є однією з найзначніших помилок моделювання у фінансах і управлінні ризиками — це був центральний технічний збій, який призвів до неправильної оцінки цін на іпотечні цінні папери перед фінансовою кризою 2008 року, де ймовірності невиконання зобов’язань щодо різних іпотек моделювалися як значно більш незалежними, ніж вони були насправді.

Паралельна незалежність не є такою ж, як взаємна незалежність

Це тонкість, яка заплутує навіть увачних студентів: три або більше подій можуть бути паралельно незалежними (кожна пара задовольняє P(Ai ∩ Aj) = P(Ai)P(Aj)), не будучи взаємно незалежними (що додатково вимагає P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C), і аналогічну умову продукту для кожної підмножини). Типовий приклад з підручника: киньте дві монети, нехай A буде «перша монета випала орлом», B буде «друга монета випала орлом», а C буде «обидві монети показали однаковий результат». Кожна пара між A, B і C незалежна, але як тільки ви знаєте будь-яку з них, третя повністю визначена — отже, всі три разом не є взаємно незалежними. Це має значення в статистиці, оскільки багато формул (наприклад, дисперсія суми) правильно спрощуються лише за умови повної взаємної незалежності, а не лише паралельної.

Де помиляються при застосуванні умовного міркування на практиці

Дві добре задокументовані когнітивні пастки виникають безпосередньо через плутання P(A | B) з P(B | A) – двох величин, які пов’язані теоремою Байєса, але зазвичай не рівні. Помилка прокурора виникає, коли дуже мале значення P(доказ | невиненість) представляється так, ніби це (значно більш релевантне та часто суттєво відмінне) значення P(невиновний | доказ). Збіг ДНК з ймовірністю 1 шанс на мільйон випадкових збігів не означає, що існує лише 1 шанс на мільйон, що підсудний невинний; цей висновок також залежить від того, скільки людей могли бути протестовані, і від попередніх доказів у справі.

Ігнорування базової ймовірності – це пов’язана тенденція ігнорувати, наскільки рідкісним або поширеним є подія в загальній популяції під час інтерпретації умовного ймовірності, що досліджується в деталях у контексті медичного тестування за теоремою Байєса. Обидва ці помилки мають спільне коріння: умовна ймовірність спрямована, і перевертання її без фактичних розрахунків майже ніколи не дає правильної відповіді.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.