Гра зі Зманом: Будування Фракталів із Чистої Випадковості

Фрактал из подбрасывания монет

Игра хаоса – один из самых странных результатов в математике: выберите несколько фиксированных точек (вершин многоугольника), начните с любой точки и повторяйте прыжки на полпути к случайно выбранной вершине. Заграфируйте каждую точку, куда вы приземляетесь. Несмотря на случайность каждого отдельного шага, накопленные точки не образуют бесформенного размытия — они прослеживают точную, бесконечно детализированную фрактальную структуру. Для треугольника с коэффициентом прыжка равным 0,5, результат – это Sierpiński triangle, тот же самый узор, который получается от полностью детерминированного, неслучайного рекурсивного построения, при котором многоугольник в середине последовательно удаляется.

Выберите 3 вершины: A, B, C Начните с любой точки P Повторяйте бесконечно: Случайно выберите вершину V (A, B или C) P = P + 0.5 * (V - P) // прыжок на полпути к V Заграфируйте P Демонстрация в реальном времени · случайные прыжки, формирующие Sierpiński triangle● LIVE Этот метод популяризовал математик Майкл Барнсли в 1980-х годах как яркое, практическое иллюстрация итерационной функции (IFS) — набор сжатых отображений (здесь три правила «прыжка на полпути к вершине») которые при их повторном случайном применении сходятся к уникальной фиксированной форме, называемой аттрактором, независимо от того, где вы начинаете. Начальная точка влияет только на первые несколько точек; подождите достаточно долго и каждый запуск будет сходиться к идентичному фракталу.

pick 3 vertices: A, B, C
start at any point P
repeat forever:
    choose a vertex V at random (A, B or C)
    P = P + 0.5 * (V - P)      // jump halfway toward V
    plot P

Чому середина ніколи не заповнюється

Причина, чому у центрі трикутника з'являється отвір, є чисто комбінаторною: стрибок наполовину до будь-якої з трьох вершин ніколи не дозволить вам опинитися в центральній області, незалежно від обраної послідовності вершин, оскільки ця область доступна лише шляхами, які забороняє половинне правило. Запустіть процес достатньо довго і щільність точок виявить самоподібну копію всього трикутника всередині кожного з його трьох кутів, а також всередині кожної з них, безперервно – це визначальна властивість фракталу.

Інші форми за тією ж ідеєю

Змінюючи співвідношення стрибка, кількість вершин або додаючи правила (наприклад, "ніколи не обирайте одну й ту саму вершину поспіль"), можна отримати цілу сім’ю пов’язаних фракталів з одного базового двигуна. Квадрат із співвідношенням стрибка 1/2 заповнюється безперервно (немає забороненої області), але обмеження того, яка вершина може слідувати за іншою, створює складні візерунки знову. Віцеск фрактал виникає з п’яти точок (чотири кути плюс центр квадрата) із співвідношенням стрибка 1/3. Відомий бамсліївський папороть — вражаюче реалістичний лист папороті — використовує чотири афінні перетворення (кожне з яких є невеликим розтягуванням, обертанням і зміщенням), застосовані з різними, ретельно налаштованими ймовірностями, замість простого вибору вершини з однаковими шансами, що показує, що ідея хаосу-ігри узагальнюється далеко за межі простих полігонів.

Sierpiński triangle:  3 vertices, ratio 1/2
Vicsek fractal:       5 points (corners + centre), ratio 1/3
Barnsley fern:        4 weighted affine maps, probabilities tuned by hand

Глибока ідея: порядок ховається в хаосі

Гра з хаосом – це невелике, візуальне доведення того, що процес, побудований повністю з незалежних випадкових виборів, все ще може мати повністю детермінований та відтворюваний довгостроковий результат. Це тісно пов'язано з тим, як працюють методи Монте-Карло в фізиці та фінансах: окремі зразки є випадковими, але їх статистичне розподілення надійно сходиться до певного результату. Це також є чуйним вступом до теорії еродизму – галузі математики, яка вивчає, коли середнє значення довгострокової поведінки хаотичної або випадкової системи стабілізується незалежно від початкових умов.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Chaos Game і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.