Нормальний розподіл та теорема обмеженості центральної міри

Форма нормального розподілу

Нормальний розподіл (також відомий як гауссовий розподіл) – це безперервний, симетричний, косими-подібний ймовірнісний розподіл, який повністю описується лише двома параметрами: його середнім значенням μ, яке визначає положення піку, та стандартним відхиленням σ, яке визначає ступінь розкиду. Його функція щільності ймовірності є

f(x) = 1 / (σ√(2π)) · e−(x−μ)²/(2σ²)

Крива досягає максимуму при x = μ, симетрично спадає в обидва боки та ніколи не торкається нуля, хоча стає незначною через кілька стандартних відхилень від нього. Площа під цілою кривою дорівнює точно 1, що відповідає другому Колмогорову аксиомі, а площа під будь-яким сегментом кривої дає ймовірність того, що значення потрапить у цей діапазон.

Правило 68-95-99.7

Для будь-якого нормального розподілу, незалежно від його конкретних значень μ та σ, частка значень, що потрапляють у межах заданої кількості стандартних відхилень від середнього, є фіксованою. Приблизно 68,27% значень припадає на діапазон μ ± 1σ, приблизно 95,45% – на діапазон μ ± 2σ, і приблизно 99,73% – на діапазон μ ± 3σ. Це часто скорочується до «правила 68-95-99.7» та є одним з найкорисніших ментальних прийомів у застосованій статистиці: воно дозволяє швидко оцінити, наскільки незвичайною є спостереження, лише знаючи, на скільки стандартних відхилень воно віддалене від середнього, без використання формул. Зауважте, що часто використовуваний поріг довірчого інтервалу 95% ±1,96σ свідомо трохи ширший за правило-застереження «2 сигми», оскільки 1,96 є точним значенням, яке захоплює рівно 95,00% площі, а не 95,45%.

Твердження теореми про центральне згортвання

Теорема про центральне згортання (ТЦЗ) є, безсумнівно, одним із найважливіших результатів у статистиці, оскільки пояснює, чому нормальний розподіл зустрічається настільки часто, навіть коли окремі вимірювані величини не мають нормального розподілу. У своїй найбільш поширеній формі: якщо X1, X2, ..., Xn є незалежними, однаково розподіленими випадковими величинами з кінцевим середнім значенням μ та кінцевою дисперсією σ², то зі збільшенням n, розподіл вибіркового середнього X̄ = (X1 + X2 + ... + Xn) / n наближається до нормального розподілу із середнім значенням μ та дисперсією σ²/n — тобто, X̄ приблизно ∼ N(μ, σ²/n) — незалежно від форми початкового розподілу, з якого були взяті Xi.

Останнє твердження є ключовим. Окремі дані можуть бути отримані з розподілу, який значно спотворений, бімодальний, обмежений або нічим не схожий на колоновиду — доходи населення, час очікування на автобус зупинки, результат одного кидка кубика — і ТЦЗ гарантує, що середнє значення багатьох незалежних вилучень з цього розподілу встановлюється у приблизно нормальну форму зі збільшенням розміру вибірки.

Спостерігаючи збіжність: що змінюється при збільшенні n

Гістограма багатьох повторних середніх значень вибірок, побудована за допомогою моделювання, робить CLT більш конкретною, а не абстрактною. Почніть із сильно спотвореного населення – наприклад, значення, отримані з експоненційного розподілу, який має різкий пік поблизу нуля та довгий праворуч хвіст. Зірвіть вибірку розміром n з цього населення, обчисліть її середнє значення та повторіть цей процес тисячі разів, побудувавши гістограму всіх отриманих середніх значень вибірок. При n = 1 гістограма «середніх значень вибірок» просто відповідає початковій спотвореній експоненційній формі. При n = 5 спотворення помітно пом’якшується. До n = 30 або близько до нього гістограма вже майже нагадує гладку, симетричну дзвіночкову криву, центровану навколо середнього значення населення – незважаючи на те, що жодне з початкових даних ніколи не було близьким до нормального розподілу.

Два речі змінюються одночасно при збільшенні n: форма стає більш нормальною, а розкид звужується, оскільки стандартне відхилення вибірки середніх значень (назване стандартною поширеністю) дорівнює σ/√n. Чотирикрасне збільшення розміру вибірки зменшує стандартну поширеність вдвічі, оскільки √4 = 2 – прямий, перевіряється математичний наслідок формули дисперсії CLT та математична причина того, що більші опитування та більші клінічні дослідження дають більш точні оцінки.

Чому CLT лежить в основі такої великої кількості застосованої статистики

Оскільки середні значення вибірок (та, за дуже подібними міркуваннями, суми, пропорції вибірок та багато інших агрегованих статистичних показників) схиляються до нормального розподілу незалежно від форми базового населення, величезна кількість класичного статистичного обладнання — Z-тести, t-тести, інтервали довіри, побудовані на основі критичних значень Z або t, контрольні діаграми у забезпеченні якості виробництва — може бути побудоване навколо нормального розподілу без попереднього знання чи перевірки форми розподілу вихідних даних. Це саме тому оглядач, який опитує 1000 випадково обраних виборців, може навести межу похибки, використовуючи математику на основі нормального розподілу, навіть якщо думка окремого виборця є бінарною та явно ненормальним результатом.

Поширені помилки щодо CLT

CLT часто неправильно інтерпретується, тому важливо бути точним у тому, що вона не говорить. Вона не стверджує, що окремі дані стають нормально розподіленими, коли ви збираєте більше їх – форма початкового популяційного розподілу ніколи не змінюється незалежно від кількості зібраних даних. Вона застосовується до агрегованих статистик, таких як середнє значення вибірки, а не до самих спостережень. Також вона вимагає, щоб основний розподіл мав кінцеву дисперсію; деякі патологічні розподіли (наприклад, розподіл Кауса, є типовим прикладом з підручників), мають надмірно великі

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.