Проектування мостів: Чому кожна балка зроблена з трикутників

Траса – це колекція членів з двома опорами

Міст у вигляді траси моделюється як прямі елементи, з’єднані в точках, які ідеалізовано як безфрикційні опори. Кожен навантаження застосовується лише в цих точках, ніколи вздовж довжини елемента. При цьому кожен елемент несе силу тільки вздовж своєї осі – це член з двома опорами, який або розтягується (натяг), або стискається (зтиск), але ніколи не деформується у викривлення. Саме тому траси ефективні: прямий балок, навантажений лише вздовж своєї осі, використовує весь свій поперечний переріз, тоді як балка, навантажена вбік, використовує матеріал лише поблизу верхніх і нижніх волокон.

Чому саме трикутники

Якщо зафіксувати довжини трьох сторін будь-якого трикутника та його форму, то неможливо деформувати його без зміни довжини сторони, а кріплені елементи не можуть змінювати свою довжину. Чотиристоронній призмa з кріпленими кутами не має такої гарантії: вона може «розхитатися» в паралелограм, ковзаючи вбік під навантаженням, зберігаючи при цьому точну довжину кожного елемента, що означає, що елементи не відчувають жодної сили, і конструкція просто згинається вбік. Отже, кожен жорсткий елемент будь-якої балки у вісі трикутника повинен бути трикутною, тому ви ніколи не побачите нез’єднаного квадратного елемента в реальному містку.

Розв’язування балки: метод вузлів

Оскільки кожен вузол перебуває в стазі, сума сил у кожній опорі дорівнює нулю як по x, так і по y. Починаючи з вузла, в якому відомі лише дві сили членів балки (зазвичай це опор або кінець), метод вузлів розв’язує ці дві невідомі з двох рівнянь рівноваги, а потім переходить до наступного вузла, де залишилося лише два невідомих, працюючи по всій конструкції:

у кожному вузлі: ΣFx = 0 ΣFy = 0 перевірка на детермінованість: m + r = 2j → статично детермінований (розв’язується лише за допомогою статики) m + r < 2j → механізм, може обірватися m + r > 2j → статично не детермінований, потрібні додаткові рівняння m = члени балки, r = компоненти реакцій, j = вузли

at every joint:
  ΣFx = 0     ΣFy = 0

determinacy check:
  m + r = 2j     → statically determinate (solvable by statics alone)
  m + r < 2j     → mechanism, can collapse
  m + r > 2j     → statically indeterminate, needs extra equations

  m = members, r = reaction components, j = joints

Визначення елементів, що зазнають натягу за діаграмою:

Під дією вниз навантаження в центрі простої підвісної балки, нижня балка розтягується (натяг, як основа вигнутого балону), а верхня балка стискається (як верхня основа вигнутого балону). Діагональні елементи ребер чергуються залежно від того, в якому напрямку вони нахиляються відносно траєкторії навантаження – діагональ, яка б скоротилася, якщо балка прогинеться, знаходиться під тиском, а та, що б продовжилася, перебуває під натягом. Інженери обирають тонкі троси або стерні для елементів, що зазнають натягу, оскільки натяг не турбується про згин, і більш товсті, міцні секції для елементів, що стискаються, оскільки тонкий стрижень під тиском руйнується боковим згином значно раніше, ніж матеріал сам буде розірваний – це критерій згину Ейлера, і тому балки, що стискають, видиміше товстіші за балки, що зазнають натягу, на справжньому мосту.

Роди семейства балок и причины изменения формы в зависимости от пролёта

Пратова балка характеризується діагоналями, які перебувають під натягом під нормальним навантаженням, що робить її дешевою у виготовленні завдяки тонким діагоналям. У варренівській балці використовується повторюваний рівносторонній трикутний малюнок без вертикальних елементів, що мінімізує загальну кількість елементів. Гоувська балка є перевернутою правою балкою, де діагоналі перебувають під тиском, що було доречним у 19 столітті, коли стиснуті дерев'яні елементи були дешевшими за тягнуті сталеві стрижні. Збільшення прольоту передбачає використання кривої верхньої балки (балка Паркера або арковистою балка), щоб забезпечити більш рівномірний розподіл сил у елементах по прольоту, оскільки пряма верхня балка над довгою балкою, що підтримується лише на кінцях, іншим чином змусила б кінцеві панелі нести значно менше сили, ніж центральні.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Bridge Design і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.