Брахістохрон: Чому найшвидший шлях вниз – циклоїда

Задача Бернулі

У 1696 році Йоганн Бернуллі поставив математикам Європи виклик: якщо задано дві точки A та B, де B нижча за A, але не знаходиться безпосередньо під нею, то яка форма гладкої дротяну нитки дозволить шарику, випущеному з положення спокою в точці A, досягти точки B за найкоротший час, лише під дією сили тяжіння? Пряма лінія є найкоротшим шляхом, але не найшвидшим, оскільки крива, яка різко спирається на початку, дозволяє шарику прискорюватися рано, що більш ніж компенсує додаткову відстань, яку він проходить. Крива, яка виграє в цій задачі, називається бравістохроною – від грецького «кратший час», а рішення – знайдене незалежно Ньютоном, Лейбніцем, Л’Еппіталем та братами Бернуллі – є циклом.

Розв’язання задачі варіаційного методу

Час дорівнює відстані, поділеній на швидкість, інтегрованому вздовж траєкторії. Якщо кулька впала на відстань y (вимірювану вниз від A), закон збереження енергії дає її швидкість як v = √(2gy). Загальний час по будь-якій траєкторії y(x) визначається функціоналом:

T[y] = ∫√( ((1 + y'') / (2gy)) dx Мінімізація T за всіма можливими кривими y(x) – це задача з математичного аналізу варіацій, а не звичайного математичного аналізу – ви оптимізуєте по нескінченновимірному просторі функцій, а не по кінцеточки чисел. Застосовуючи рівняння Ейлера-Лагранжа до цього функціоналу (або, більш безпосередньо, ідентичність Бельтрамі, оскільки інтеграл не має явного члена x), воно спрощується до першочергової диференціальної рівняння, розв’язок якої, отриманий у параметричній формі, є точно циклоїдою.

T[y] = ∫ √((1 + y'²) / (2gy)) dx

Чому відповідь – циклоїда

Циклоїда – це крива, яку залишає точка на краю кола, що котиться по прямій лінії. Це та сама родина кривих, що використовується в інших місцях на цьому сайті для гіппоциклідів, але тут розгорнута по площині замість іншого кола. Параметризована кутом обертання θ і радіусом генераційного кола r, найшвидший зв’язок бравістохронового типу від початку до цільової точки визначається як:

x(θ) = r * (θ - sinθ) y(θ) = r * (1 - cosθ) Радіус r та діапазон θ задаються тим, що крива проходить через цільову точку B – це одновимірне знаходження кореня, оскільки з ростом r кінець кривої прокладає певний шлях. На диво, оптимальна крива залишає A вертикально, падаючи вниз безпосередньо, незалежно від того, наскільки далеко горизонтально знаходиться B – це найшвидший спосіб перетворення потенціальної енергії в швидкість перед тим, як вона згинається до цілі.

x(θ) = r·(θ - sinθ)
y(θ) = r·(1 - cosθ)

Гонка за чотирма кривими: пряма лінія, дуговий циліндр, парабола, циклоїда

У живій демонстрації кульки одночасно випускаються з прямої лінії, дугового циліндра, параболи та справжньої циклоїди, всі вони обмежені однаковими початковими та кінцевими точками. Пряма лінія інтуїтивно зрозуміла, але неправильна – куля на ній сповільно прискорюється на початку. Дуговий циліндр або парабола, налаштовані так, щоб опуститися нижче прямої лінії, зазвичай перемагають її, але все ще програють циклоїді, викривлення якої точно налаштоване таким чином, що кожний невеликий відрізок обмінює потенційну енергію на швидкість з оптимальною для місцевого рівня. Розбіжність не дуже велика для коротких, плавно нахилених трас, але вона зростає, коли падіння стає крутішим або горизонтальна відстань довшою.

Таутохро́н: одна крива розв’язує другу загадку

Не дивно, що циклоїда також вирішує повністю іншу задачу, яку поставив Крістіан Гюйгенс десятиліття раніше: таутохро́нну (криву рівного часу), на якій куля, випущена з будь-якої висоти, досягає дна за однакову кількість часу, незалежно від її початкової позиції. Гюйгенс використав цю властивість для проектування годинника з циклоїдними обличчями, які обмежували мотузку підвісу, роблячи його період не залежним від амплітуди коливання - велике коливання прокладає більший кут, але при цьому має вищу середню швидкість, що є ранньою реалізацією ізохронізму, який робить брахістохрон оптимальним.

Ідентичність Бельтрамі, швидкий шлях

Розв’язання повної рівняння Ейлера-Лагранжа для цього функціоналу зайве, якщо помітити, що інтеграл F(y, y') не має явного залежності від x. Ідентичність Бельтрамі тоді дає першу інтегральну: F - y'(∂F/∂y') = константа. Підставляючи F = √((1+y'²)/(2gy)) та спрощуючи, отримуємо y(1 + y'²) = константа – це першочерговий диференціальне рівняння першого порядку, розв’язок якого – після стандартної тривіальної заміни y' = cot(θ/2) – є точно параметризація циклоїди, що наведена вище. Це стандартний «швидкий шлях», який використовується, коли інтеграл у задачі варіаційного типу не залежить явно від незалежної змінної.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Brachistochrone і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.