Хвилі у ванній: Рівняння хвилі, відбиття та суперпозиція

Збудження – це рух, а не вода, що рухається

Коли ви натискаєте поверхню ванни з води, ви насправді не штовхаєте воду назовні по всій ванні — ви штовхаєте її вниз, а сила тяжіння та поверхневий натяг піднімають її назад, перекочуючи поверхню та затягуючи сусідню воду в свою чергу. Цей обмін – вниз, вгору, вниз, вгору – повторюється від місця вашого натиску і це саме малюнок руху, а не сама вода, що розповсюджується по всій ванні. Гусениця, що плаває поруч, піднімається та опускається, коли проходить хвиля, але майже точно повертається до того ж місця, де вона почала; це саме збудження, яке рухається, а вода в основному залишається на місці.

Рівняння хвилі: одна формула, всюди одночасно

Уся поверхня підпорядковується єдиному простому правилу, яке діє всюди одночасно: рівнянню хвилі. Воно стверджує, що швидкість прискорення висоти точки на воді залежить від кривизни поверхні навколо неї — точка, що знаходиться в западині, оточеній вищою водою, піднімається, а точка, що знаходиться на пагорбі, оточеному нижчою водою, опускається. Застосовуючи це місцеве правило в кожній точці ванни, повторюючи його безліч разів, велика поведінка, яку ви спостерігаєте — розширювальні колоподібні хвилі, відбиття від стін, перехресні зіткнення — автоматично виникає, без глобальних інструкцій, які б вказували хвилі, куди йти.

∂²h/∂t²  =  c² · ∇²h

h  = water surface height above rest level
c  = wave speed  ≈  √(g · depth)   for shallow water
∇²h = curvature of the surface (how "dented" it is around a point)

Сусіднє збудження: дві хвилі просто проходять одна через одну

Натисніть воду в двох різних місцях і ви отримаєте два розгортання, що зустрічаються посередині — і там, де вони перетинаються, вони не стикаються чи відштовхуються, а просто додаються разом. Це принцип сусіднього збудження, який справедливий через те, що рівняння хвилі є лінійним: загальне зміщення дорівнює сумі того, що кожна хвиля могла б створити сама по собі. Де зустрічається пік і рівень води піднімається вище (конструктивне інтерференція); де пік і долина можуть тимчасово скасовуватись, щоб майже повернутися до рівної води (деструктивна інтерференція). Потім кожна хвиля продовжує рухатись точно так само, ніби іншої не було, повністю не вплинута зустріччю.

Відбиваються від стін

Милої жінки не може рухатися, тому коли хвиля досягає її, енергія хвилі не куди подітись, окрім як повернутися назад у воду — стіна відбиває хвилю, відправляючи її під кутом, рівним куту, під яким вона прийшла, точно так само, як дзеркало відбиває промінь світла. Відбиті хвилі перетинаються з хвилями, які продовжують поширюватися від первісного бризкання, створюючи складні перехресні візерунки, які ви бачите, коли справді розбурхати миску для ванни більше ніж на секунду або дві — кожна лінія перехрестя є результатом додавання двох або більше хвиль в цей момент.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Waves in a Bathtub і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.