Крива росту бактерій – це одна формула, а не чотири правила

Чотири фази, кожна з яких зумовлена окремим фактором

Побудуйте графік логарифму кількості бактерій проти часу в закритій культурі — склянка з фікрованим об’ємом поживної бульйону, без додавання їжі та видалення відходів — і ви отримаєте характерну S-подібну криву, яку кожен студент-мікробіолог повинен знати: стадія затримки, потім експоненціальний (логарифмічний) ріст, стаціонарний стан і смерть. Менш часто пояснюється те, що всі чотири фази безпосередньо випливають з одного основних механізму — виснаження поживних речовин та накопичення відходів, які діють на єдине рівняння швидкості росту, а не є чотирма окремими біологічними програмами, між якими клітини перемикаються.

Рівняння Монода: швидкість росту як функція того, що залишилося з'їсти

Рівняння Жака Монода, створене у 1949 році, є математичним рушієм за всією кривою. Воно стверджує, що специфічна швидкість росту μ (часткова швидкість збільшення популяції на одиницю часу) не є постійною величиною — вона залежить від поточної концентрації поживи S, досягаючи максимуму при надлишку поживних речовин і зникаючи до нуля, коли вони вичерпуються:

μ(S) = μ_max * S / (Ks + S) μ_max = максимальна можлива специфічна швидкість росту (пожива не обмежує) Ks = константа напівзаповнення — концентрація поживи, при якій швидкість росту дорівнює точно μ_max (міра того, наскільки «голодний» організм відносно рідкісної поживи; менше Ks = кращий збирач) dN/dt = μ(S) * N // популяція зростає пропорційно самій собі, // масштабована поточною швидкістю росту dS/dt = -(1/Y) * μ(S) * N // пожива споживається пропорційно // росту, поділена на коефіцієнт врожайності Y Y, коефіцієнт врожайності, показує, скільки нових клітин виробляє задана кількість спожитої поживи — це фіктивна конверсійна ефективність. Це справді зв’язана система: популяція N залежить від швидкості росту, швидкість росту залежить від поживи S, а пожива залежить від того, скільки вже з'їла популяція. Ця взаємозв’язка, розгорнута в часі, генерує кожну видиму ознаку класичної кривої росту без необхідності додаткових правил.

mu(S)  =  mu_max * S / (Ks + S)

mu_max = maximum possible specific growth rate (nutrient never limiting)
Ks     = half-saturation constant — the nutrient concentration at which
         growth rate is exactly half of mu_max (a measure of how "hungry"
         the organism is for scarce nutrient; smaller Ks = better scavenger)

dN/dt  =  mu(S) * N              // population grows proportional to itself,
                                  // scaled by the current growth rate
dS/dt  =  -(1/Y) * mu(S) * N     // nutrient is consumed proportionally to
                                  // growth, divided by yield coefficient Y

Фаза лагу: не спокій, а метаболічна переналаштування

Коли клітини переводяться в свіжу середу, розмір популяції майже не змінюється на певний час, навіть якщо поживних речовин достатньо, і, згідно з рівнянням Монода, μ(S), швидкість росту була б негайною. Відсутній елемент полягає в тому, що рівняння Монода передбачає, що клітини вже метаболічно готові використовувати доступний їм ресурс – свіжопереведені клітини зазвичай цього не роблять. Якщо нова середа містить інший вуглеводний джерело або попередня культура була знеживлення, чи перебувала в стаціонарній фазі, клітинам потрібен час для синтезу специфічних ферментів і транспортерів, необхідних для цього (процес, що контролюється переважно механізмом суворого відповіді та пов'язаними з ним системами регулювання, які пригнічували експресію генів, пов’язаних зі зростанням, в попередніх, більш несприятливих умовах), відновлення накопидженого пошкодження макромолекул і відновлення вмісту рибосом перед тим, як механізми поділу зможуть працювати на повну потужність. Саме тому тривалість фази лагу сильно залежить від історії: клітини, переведені з подібної, багатій поживними речовинами середи, практично не мають фази лагу, тоді як клітини, переведені з голодування або з дуже іншого субстрату, можуть мати затримку на кілька годин – модель це відображає шляхом явного утримання або повільно зростаючого ефективного максимального значення μ_max, оскільки просте рівняння Монода само по собі не має природної затримки.

Експоненційний етап: μ зафіксовано на своєму максимальному значенні

Після переналаштування та при збереженні надлишкової концентрації поживного середовища S, що значно перевищує константу напівсаттиса Ks, термін Monod S/(Ks+S) знаходиться близько до 1, отже μ ≈ μ_max — постійне значення — і диференціальне рівняння dN/dt = μN інтегрується як простий експоненційний ріст, N(t) = N0 * e^(μ_max * t). Це текстовий етап, коли популяція подвоюється з фіксованим інтервалом, час подвоєння td = ln(2)/μ_max, який відомий приблизно як 20 хвилин для E. coli за ідеальних лабораторних умов (37°C, багатий розчин) — один із найшвидших темпів генерації у будь-якій клітині, хоча більшість бактерій у реальних умовах ростуть значно повільніше під впливом обмеженості поживних речовин та температурного стресу.

Стаціонарна фаза: сам термін 'Монод' фактично зникає

Коли S споживається, як тільки він падає вниз і опускається нижче Ks, відношення S/(Ks+S) більше не наближається до 1 – темп росту справді сповільнюється безперервно, а не різким перемиканням. Зростання популяції уповільнюється та зрештою вирівнюється, оскільки чистий темп росту підходить до нуля: нові поділи клітин приблизно балансуються фоновим рівнем смерті клітин, тому розмір популяції N залишається приблизно постійним, незважаючи на те, що окремі клітини продовжують ділитися та вмирати під плоскою кривою. Два механізми посилюють уповільнення за межами простого виснаження субстрату: накопичення відходів метаболізму (кислі ферментаційні продукти, аутоіндуктори та інша метаболічна відходність) безпосередньо пригнічують ріст, а підвищена щільність клітин запускає квантове відчуття – бактерії виявляють свою популяційну щільність за допомогою виділених сигнальних молекул і перемикають експресію генів у програми виживання та адаптації (товстіші клітинні стінки, стани схожі на спокій, спорлація у видів, здатних до неї) замість подальшого швидкого поділу, навіть якщо поживи ще повністю не вичерпано.

Фаза смерті: коли неможливо оплачувати підтримку

Зрештою, поживні речовини стають занадто рідкісними, а відходи – надмірно сконцентрованими, що робить неможливим для клітин підтримувати базову цілісність мембрани та процеси репарації, і популяція починає зменшуватися – часто, емпірично, за власною приблизно експоненціальною кривою розкладання, N(t) = N(t_stationary) * e^(-k_d * (t - t_stationary)), з константою швидкості смерті k_d, яка зазвичай значно менша за величиною, ніж μ_max фази росту – і саме тому фаза смерті візуально розтягується на значно довший та більш плавний спад, ніж різкий підйом експоненціальної фази. Варто знати про тонкість: фаза смерті рідко є абсолютно експоненціальною в практиці, оскільки генетично та фізіологічно неоднорідна популяція не гине одночасно – певна підпопуляція клітин-персистентів з нижчою метаболічною активністю виживає значно довше, ніж середнє значення для маси, що є одним із механізмів, закладених у толерантність до антибіотиків (на відміну від стійкості) в клінічних та промислових умовах.

Чому цей один модель, запущений один раз, створює таку форму

Елегія моделі Монода-кінетики, представленої на цій сторінці, полягає в тому, що стадія лагу, лог, стаціонарний стан і смерть не є чотирма окремими правилами — це одна безперервно працююча система (населення, поживні речовини та, у повному варіанті, концентрація відходів), усі взаємопов'язані через їх диференціальні рівняння, яка просто проходить через чотири візуально розрізнені фази, коли співвідношення S до Ks змінюється від значно вище 1 до значно нижче 1, формуючи хвостову частину за рахунок накопичення відходів та термінів клітинного загибіння. Це той самий принцип, що лежить в основі майже кожної моделі популяції на цьому сайті: невеликий набір взаємопов'язаних диференціальних рівнянь, інтегрований у часі, який відтворює складну візуально поведінку без складних правил.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Bacterial Growth Curve і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.