Архімедові тіла: Обрізання платоних тіл

Напіврегулярний: один крок вниз від платонівських

Платоні́вський ґеометр є побудований з одного виду регулярного багатокутника, при цьому кожна вершина має геометрично однакову форму — це суворий принцип дозволяє існувати лише п’ять таких тверди́х тіл: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр та ікосаедр. Архімедо́ве ґеометр пом’якшує лише вимогу щодо граней: воно може поєднувати два або три різні типи регулярних багатокутників на своїй поверхні, але при цьому вимагає, щоб кожна вершина була оточена однаковим циклічним порядком багатокутників, властивість, яка називається вершинною транзитивно́стю. Ця одна пом’якшена, але все ще сувора умова визначає всю родину Архімедових ґеометрій.

Створено шляхом відрізання та вирівнювання

Багато тіл Архімеда будуються безпосередньо з платонівської фігури шляхом відрізання її кутів. Відсікайте лише стільки, щоб залишився невеликий новий трикутник у кожному початковому вершині, не торкаючись початкових ребер, і тетраедр перетвориться на вилотений тетраедр, куб – на вилотений куб, октаедр – на вилотений вісімгранник. Відсікайте глибше – точно до середини кожного краю – «вирівнювання» – і початкові грані зменшуються вдвічі, а нові грані з'являються там, де раніше були вершини: куб вирівнюється у вісімгранний багатогранник, додекаедр – у дводесятигранник.

truncation depth t = 0     →  original Platonic solid, untouched
truncation depth t = 1/3   →  Archimedean truncated form (e.g. truncated cube)
truncation depth t = 1/2   →  rectified solid (cut to the edge midpoints)

Повний перелік: 13 тверді тіл

Ця повна сім'я складається з рівно 13 випуклих Архімедових твердих тіл (рахунок, який вважає обидва химерні спіральні форми за одне тверде тіло). У цій симуляції представлено 5 з них, які генеруються в реальному часі шляхом відрізання та випрямлення: урізаний тетраедр, кубооктаедр, урізаний куб, урізаний октаедр і вісімгранно-ікосацедерон – кожне з них обертове, з відображенням кількості вершин, ребер та граней, а також постійним перевіркою Ейлера.

Формула Ейлера як перевірка

Кожна опукла багатогранна фігура підкоряється формулі Ейлера, V - E + F = 2, яка пов'язує її кількість вершин, ребер і граней. Обчислення всіх трьох величин та перевірка їхньої відповідності є швидким та надійним способом перевірити, чи правильно було виконано обрізання або вирівнювання фігури. Наприклад, у зрізаному кубі 24 вершини, 36 ребер і 14 граней (6 восьмигранників плюс 8 трикутників): 24 - 36 + 14 = 2, що відповідає вимогам.

Чому вони мають значення за межами естетики

Архімедові тіла часто зустрічаються за межами чистої геометрії. Узголов’я, або урезок, – це класичний малюнок, що нагадує футбольний м'яч, а такий же порядок вершин описує каркас молекули буклерофенолу (C60). Вірусні оболонки часто приймають сферичну та подібну до неї нерегулярну симетрію, щоб ефективно утримувати генетичний матеріал, а геодезичні куполи та інші архітектурні конструкції використовують ту ж сім’ю форм для комбінації структурної ефективності та майже сферичного покриття.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Archimedean Solids і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.