PL 
EnglishDomyślny
Українська💫 Kwantowy pakiet falowy — pakiet gaussowski i zasada nieoznaczoności Heisenberga
Symuluj kwantowomechaniczny gaussowski pakiet falowy. Obserwuj ewolucję Re(ψ), Im(ψ) i |ψ|² wskutek dyspersji. Poznaj prędkość grupową i fazową oraz zmierz nieoznaczoność Heisenberga Δx·Δp ≥ ħ/2.
O tej symulacji
Ta symulacja renderuje dokładne analityczne rozwiązanie dla swobodnego jednowymiarowego gaussowskiego pakietu falowego za pomocą shadera fragmentów GLSL — nie jest to dyskretny solver równania Schrödingera. Przy zadanym początkowym pędzie k₀, szerokości σ₀ i masie m, środek pakietu przesuwa się z prędkością grupową v_g = ħk₀/m, podczas gdy jego szerokość rośnie jak σ(t) = σ₀·√(1+τ²), gdzie τ = ħt/(2mσ₀²) to bezwymiarowy czas rozpraszania. Świecąca wypełniona krzywa śledzi gęstość prawdopodobieństwa |ψ|², której wysokość szczytu maleje o czynnik σ₀/σ(t), tak by całkowite prawdopodobieństwo pozostało zachowane w miarę spłaszczania się pakietu, a zabarwione prążki poniżej śledzą szybciej oscylującą fazę nośną k₀(x−⟨x⟩)−ωt. Każde uruchomienie animuje 4 atomowe jednostki czasu fizycznego w ciągu 7 sekund, po czym automatycznie restartuje się od t=0.
🔬 Co pokazuje
Shader rysuje dwie nałożone na siebie warstwy: zewnętrzna świecąca obwiednia to gęstość prawdopodobieństwa |ψ(x,t)|², malejąca wysokością i poszerzająca się wraz z dyspersją pakietu, podczas gdy kolorowe prążki poniżej — zabarwione przez cosinus i sinus fazy nośnej — wizualizują szybszą oscylację Re(ψ) i Im(ψ) wewnątrz tej obwiedni. Panel statystyk podaje prędkość grupową, prędkość fazową, długość fali nośnej λ=2π/k₀, bieżącą szerokość σ_x, stosunek rozpraszania σ/σ₀ oraz bieżący iloczyn niepewności Δx·Δp.
🎮 Jak korzystać
Przeciągnij k₀, by zmienić pęd pakietu (a więc jego prędkość grupową i długość fali nośnej), σ₀, by ustawić, jak silnie jest on początkowo zlokalizowany, oraz Masę m, by zmienić szybkość jego rozpraszania. Uruchom / Restart ponownie wystrzeliwuje pakiet od t=0 w dowolnym momencie, a Pauza zatrzymuje animację, byś mógł zbadać profil i bieżące odczyty statystyk.
💡 Czy wiesz, że…
Przy t=0 pakiet znajduje się dokładnie w minimum Heisenberga, Δx·Δp = ħ/2 — najściślejszym kompromisie położenie-pęd dopuszczonym przez mechanikę kwantową. Ponieważ rozrzut pędu Δp = 1/(2σ₀) jest ustalony przez początkową szerokość i nigdy się nie zmienia dla cząstki swobodnej, każdy dodatkowy bit rozrzutu położenia σ(t) w miarę rozpraszania się pakietu przesuwa Δx·Δp ściśle powyżej ħ/2, co dokładnie pokazuje żywy odczyt „Δx·Δp” w trakcie działania symulacji.
Najczęściej zadawane pytania
Dlaczego pakiet falowy rozprasza się z czasem?
Gaussowski pakiet falowy to superpozycja fal płaskich o rozrzucie pędów wokół k₀. Dla cząstki swobodnej każda składowa pędu k ewoluuje według własnej fazy zgodnie z relacją dyspersji ω(k)=ħk²/(2m), więc składowe o różnym k rozjeżdżają się fazowo wraz z upływem czasu. Zsumowanie ich z powrotem daje pakiet, którego szerokość rośnie jak σ(t)=σ₀·√(1+τ²) przy τ=ħt/(2mσ₀²) — dokładnie ten wzór ten symulator oblicza w każdej klatce, by ustawić szerokość obwiedni w shaderze.
Jaka jest różnica między prędkością grupową a fazową?
Prędkość grupowa v_g=ħk₀/m to szybkość, z jaką porusza się obwiednia pakietu — a więc i szczyt |ψ|² — i to właśnie ją widać jako przesuwający się świecący profil. Prędkość fazowa v_φ=ħk₀/(2m) jest dokładnie o połowę mniejsza: to szybkość poszczególnych grzbietów fali (oscylacji nośnej) pod obwiednią, dlatego kolorowe prążki zdają się przesuwać przez obwiednię, zamiast pozostawać przypięte do jej szczytu.
Dlaczego wysokość szczytu maleje wraz z rozpraszaniem się pakietu?
Całkowite prawdopodobieństwo, czyli całka z |ψ|² po całej przestrzeni, musi zawsze wynosić 1. Wraz ze wzrostem szerokości σ(t) shader skaluje szczyt gęstości przez czynnik σ₀/σ(t) (widoczny w kodzie jako envSq = exp(...) * (s0 / sigT)), tak by szerszy, bardziej płaski garb nadal całkował się do tego samego znormalizowanego prawdopodobieństwa co węższy, od którego zaczynał.
Dlaczego Δx·Δp rośnie powyżej ħ/2 w miarę trwania symulacji?
Niepewność pędu Δp=1/(2σ₀) jest ustalona w momencie wystrzelenia pakietu — rozkład pędu cząstki swobodnej nigdy się w czasie nie zmienia. Rośnie tylko niepewność położenia Δx=σ(t), więc iloczyn Δx·Δp rośnie monotonicznie powyżej swojej minimalnej wartości ħ/2 przy t=0. Statystyka „Δx·Δp” jest przeliczana w każdej klatce bezpośrednio z σ(t), więc można na żywo obserwować, jak minimalna granica zasady nieoznaczoności zostaje pozostawiona w tyle.
Dlaczego animacja co kilka sekund sama się restartuje?
Każde uruchomienie odwzorowuje 4 atomowe jednostki symulowanego czasu fizycznego na stałą 7-sekundową animację na ekranie (LAUNCH_DURATION w kodzie). Gdy postęp uruchomienia osiąga 1,0, symulator automatycznie resetuje zegar i postęp do zera, więc pakiet wciąż pojawia się ponownie w swojej pozycji i szerokości startowej bez potrzeby klikania „Uruchom / Restart” — ręczne kliknięcie tego przycisku po prostu wymusza wcześniejszy reset do t=0.