PL 
EnglishDomyślny
Українська💹 Wycena opcji
Wycena opcji metodą Blacka-Scholesa, symulacja Monte Carlo i współczynniki greckie instrumentów pochodnych.
O wycenie opcji
Model Blacka-Scholesa
Formuła Blacka-Scholesa (1973) daje cenę w postaci zamkniętej dla opcji europejskich przy założeniach log-normalnego rozkładu cen akcji, stałej zmienności i braku dywidend. Cena opcji kupna C = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂) zależy od pięciu danych wejściowych: bieżącej ceny akcji S, ceny wykonania K, stopy wolnej od ryzyka r, zmienności σ oraz czasu do wygaśnięcia T. Fischer Black i Myron Scholes (wraz z Robertem Mertonem) otrzymali za tę formułę Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii w 1997 roku.
Greckie współczynniki
„Greckie współczynniki" mierzą wrażliwość opcji na zmiany danych wejściowych. Delta (Δ = ∂C/∂S) pokazuje, o ile zmienia się cena opcji przy ruchu akcji o 1 funta — dla opcji kupna przyjmuje wartości od 0 do 1. Gamma (Γ = ∂²C/∂S²) mierzy tempo zmiany delty. Vega (∂C/∂σ) pokazuje wrażliwość na zmienność — opcje stają się cenniejsze przy wyższej zmienności. Theta (∂C/∂T) to dzienny rozpad wartości czasowej — opcje tracą na wartości w miarę zbliżania się wygaśnięcia.
Symulacja Monte Carlo
Symulacja Monte Carlo generuje wiele losowych trajektorii ceny akcji przy użyciu geometrycznego ruchu Browna: S(T) = S(0)·exp((r−σ²/2)T + σ·√T·Z), gdzie Z to standardowa zmienna normalna. Uśrednienie zdyskontowanych wypłat max(S(T)−K,0)·e^(−rT) po tysiącach trajektorii daje nieobciążony szacunek ceny opcji, a błąd maleje jak 1/√N. Podejście to naturalnie rozszerza się na opcje zależne od ścieżki (azjatyckie, barierowe), dla których nie istnieje rozwiązanie w postaci zamkniętej.
O tej symulacji
Ta symulacja wycenia europejskie opcje kupna i sprzedaży za pomocą formuły Blacka-Scholesa, weryfikuje krzyżowo tę cenę wobec niezależnej symulacji Monte Carlo trajektorii akcji opartych na geometrycznym ruchu Browna (GBM) oraz wyznacza pełen zestaw greckich współczynników opcji (delta, gamma, vega, theta, rho), dzięki czemu widać dokładnie, jak wrażliwa jest wartość opcji na każdą z danych wejściowych.
🔬 Co pokazuje
Dwa widoki na żywo: diagram wypłaty/wartości wykreślający bieżącą wartość Blacka-Scholesa (linia ciągła) na tle wypłaty w dniu wygaśnięcia (linia przerywana) w zależności od ceny akcji S, oraz panel Monte Carlo pokazujący 50 symulowanych trajektorii ceny GBM na przestrzeni 100 kroków czasowych do wygaśnięcia. Uśredniona, zdyskontowana wypłata z tych trajektorii jest porównywana z ceną Blacka-Scholesa w postaci zamkniętej jako test spójności, wraz ze sprawdzeniem parytetu kupna-sprzedaży.
🎮 Jak korzystać
Przełączaj między opcją kupna i sprzedaży, a następnie przeciągaj suwaki Cena akcji S, Cena wykonania K, Zmienność σ, Stopa wolna od ryzyka r i Czas do wygaśnięcia T, aby zobaczyć, jak cena opcji, greckie współczynniki i oba wykresy aktualizują się natychmiast. Wypróbuj gotowe ustawienia — Po cenie (at-the-money), Głęboko w pieniądzu, Głęboko poza pieniądzem, Krótkie wygaśnięcie i LEAP (2 lata) — aby od razu przejść do pouczających scenariuszy, na przykład porównania szybkiego rozpadu czasowego opcji bliskiej wygaśnięciu z dużo płaską theta 2-letniego LEAP.
💡 Czy wiesz, że?
Formuła wyceny opcji Fischera Blacka, Myrona Scholesa i Roberta Mertona z 1973 roku wciąż wycenia zdecydowaną większość opcji notowanych na giełdach. Jej dokładność opiera się na założeniu stałej zmienności — realne rynki łamią to założenie, co jest właśnie powodem istnienia „uśmiechów" i „skosów" zmienności implikowanej oraz dlaczego metody Monte Carlo pozostają niezbędne do wyceny bardziej egzotycznych instrumentów pochodnych zależnych od ścieżki.
Najczęściej zadawane pytania
Jakich danych wejściowych potrzebuje formuła Blacka-Scholesa?
Black-Scholes wycenia opcję europejską na podstawie pięciu danych wejściowych: bieżącej ceny akcji S, ceny wykonania K, czasu do wygaśnięcia T (w latach), stopy procentowej wolnej od ryzyka r oraz zmienności σ (rocznego odchylenia standardowego stóp zwrotu). Formuła oblicza dwa wyrazy pośrednie, d1 i d2, z tych danych wejściowych i wstawia je do dystrybuanty rozkładu normalnego, aby otrzymać cenę opcji kupna C = S·N(d1) − K·e^(−rT)·N(d2), a cena opcji sprzedaży wynika z parytetu kupna-sprzedaży.
Dlaczego symulacja uruchamia też symulację Monte Carlo, skoro Black-Scholes daje dokładną odpowiedź?
Panel Monte Carlo istnieje, aby pokazać, że te dwa bardzo różne podejścia są zgodne, co buduje zaufanie do obu. Symuluje 50 losowych trajektorii ceny akcji przy użyciu geometrycznego ruchu Browna, S(T) = S(0)·exp((r−σ²/2)T + σ·√T·Z), a następnie uśrednia zdyskontowaną wypłatę max(S(T)−K,0)·e^(−rT) we wszystkich trajektoriach. Ponieważ Monte Carlo działa dla opcji bez rozwiązania w postaci zamkniętej (jak opcje azjatyckie czy barierowe), pokazanie tu zbieżności do ceny Blacka-Scholesa potwierdza, że silnik symulacji został zaimplementowany poprawnie.
Co mówią mi greckie współczynniki (delta, gamma, vega, theta, rho)?
Delta pokazuje, o ile przesuwa się cena opcji przy zmianie ceny akcji o 1 funta, i przyjmuje wartości od 0 do 1 dla opcji kupna. Gamma to tempo zmiany delty, najwyższe dla opcji po cenie (at-the-money) blisko wygaśnięcia. Vega mierzy wrażliwość na zmianę zmienności o 1 punkt — opcje zawsze są warte więcej, gdy zmienność rośnie. Theta to dzienny rozpad wartości czasowej, zwykle ujemny, pokazujący, ile wartości traci opcja wyłącznie z powodu upływu czasu. Rho mierzy wrażliwość na stopę procentową wolną od ryzyka.
Dlaczego moje sprawdzenie parytetu kupna-sprzedaży nie wynosi dokładnie zero?
Parytet kupna-sprzedaży mówi, że Opcja kupna − Opcja sprzedaży powinna równać się S − K·e^(−rT) dla opcji o tej samej cenie wykonania i wygaśnięciu. Symulacja wyświetla „OK", gdy rozbieżność jest mniejsza niż 0,01, co pokrywa zwykłe zaokrąglenia zmiennoprzecinkowe w przybliżeniu rozkładu normalnego używanym dla N(d1) i N(d2). Większa rozbieżność wskazywałaby na rzeczywistą okazję arbitrażową lub błąd wyceny, z których żaden nie powinien wystąpić przy zamkniętej formule Blacka-Scholesa użytej tutaj.
Co dzieje się z wartością opcji blisko wygaśnięcia w porównaniu z 2-letnim LEAP?
Wypróbuj ustawienie Krótkie wygaśnięcie (T ≈ 0,08 roku, około miesiąca) w porównaniu z ustawieniem LEAP (T = 2 lata): opcja krótkoterminowa ma niemal zerową pozostałą wartość czasową, więc jej cena jest bliska wartości wewnętrznej, a rozpad theta jest stromy i widoczny dzień po dniu. 2-letni LEAP zachowuje znacznie więcej wartości czasowej, rozpada się znacznie wolniej i jest znacznie bardziej wrażliwy na zmiany zmienności (wyższa vega), ponieważ jest więcej czasu, aby akcja mogła się poruszyć.
Wycena opcji metodą Blacka-Scholesa, symulacja Monte Carlo i greckie współczynniki dla instrumentów pochodnych.
2D · Renderer Canvas 2D · Cel: 60 FPS · działa w całości po stronie klienta, bez instalacji