PL 
EnglishDomyślny
Українська📈 Cena akcji — GBM
Symulator ceny akcji oparty na geometrycznym ruchu Browna. 20 trajektorii cen z regulowanym dryfem μ i zmiennością σ. Histogram logarytmiczno-normalny ceny końcowej.
📈 Cena akcji — geometryczny ruch Browna
Symuluj wiele trajektorii cen akcji przy użyciu stochastycznego równania różniczkowego dS = μS·dt + σS·dW — modelu leżącego u podstaw finansów ilościowych oraz formuły wyceny opcji Blacka-Scholesa.
🔬 Co pokazuje symulacja
GBM to model leżący u podstaw formuły wyceny opcji Blacka-Scholesa. Każda trajektoria podlega równaniu dS = μS·dt + σS·dW, gdzie dW to szum Browna. Logarytm S ma rozkład normalny — co prowadzi do rozkładu logarytmiczno-normalnego cen akcji (Samuelson, 1965). μ to oczekiwana roczna stopa zwrotu; σ to roczna zmienność. Pogrubiona przerywana linia pokazuje analityczną średnią E[S] = S₀·e^(μt), która znajduje się powyżej mediany, ponieważ rozkład logarytmiczno-normalny jest prawostronnie skośny.
🎮 Jak korzystać
Przeciągnij μ na wartości dodatnie, aby uzyskać hossę (większość trajektorii kończy powyżej S₀), lub na ujemne dla bessy. Zwiększ σ, aby zobaczyć, jak trajektorie się rozchodzą — więcej niepewności, szerszy rozrzut logarytmiczno-normalny. Kliknij „Uruchom nową symulację", aby wygenerować nowy zestaw trajektorii. Przerywana biała linia pokazuje analityczną średnią E[S] = S₀·e^(μt). Histogram poniżej pokazuje rozkład cen końcowych — zielone słupki to wyniki powyżej S₀, czerwone poniżej.
💡 Czy wiesz, że?
Formuła Blacka-Scholesa (Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton — 1973) zdobyła Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii w 1997 roku. Zakłada ona GBM ze stałymi μ i σ — w praktyce σ nie jest stałe (tzw. „uśmiech zmienności"), dlatego traderzy opcji korzystają z bardziej zaawansowanych modeli, takich jak zmienność stochastyczna (model Hestona) czy dyfuzja ze skokami (model skoków Mertona). Mimo to GBM pozostaje fundamentalnym elementem budulcowym finansów ilościowych.
O tej symulacji
Ta symulacja modeluje, jak może zmieniać się cena akcji w czasie, wykorzystując geometryczny ruch Browna — proces stochastyczny leżący u podstaw formuły Blacka-Scholesa. Każda trajektoria podlega równaniu dS = μS·dt + σS·dW i jest generowana krok po kroku w oparciu o 252 dni sesyjne w roku, dzięki czemu zmiany ceny skalują się z jej bieżącą wartością i nigdy nie stają się ujemne. Zaczynając od S₀ = 100, narzędzie generuje zestaw trajektorii i zestawia wynikowy rozkład logarytmiczno-normalny cen końcowych.
🔬 Co pokazuje
Wykreśla N niezależnych trajektorii ceny, wygenerowanych przez dokładne rozwiązanie GBM S(t) = S₀·exp((μ − σ²/2)t + σ·√t·Z), gdzie Z to standardowy szum gaussowski losowany na każdym dziennym kroku metodą Boxa-Mullera. Pogrubiona biała przerywana linia to analityczna średnia E[S] = S₀·e^(μt); ponieważ rozkład jest prawostronnie skośny, znajduje się ona powyżej mediany. Histogram poniżej grupuje ceny końcowe, ujawniając ich logarytmiczno-normalny kształt.
🎮 Jak korzystać
Cztery suwaki ustawiają model: dryf μ (od −0,2 do 0,5 rocznie), zmienność σ (od 0,05 do 0,8), liczbę trajektorii N (od 5 do 50) oraz horyzont czasowy T (od 0,25 do 5 lat). Dodatnie μ daje scenariusz hossy, ujemne — bessy; zwiększanie σ rozszerza rozrzut trajektorii. Naciśnij „Uruchom nową symulację", aby wygenerować nowy losowy zestaw. Panel statystyk pokazuje średnią, medianę, minimum, maksimum oraz odsetek trajektorii kończących powyżej S₀.
💡 Czy wiesz, że?
Ponieważ stopy zwrotu składają się multiplikatywnie, mediana trajektorii dryfuje poniżej średniej nawet wtedy, gdy μ jest dodatnie: ponad połowa trajektorii GBM może zakończyć się poniżej wartości średniej. To właśnie „opór zmienności" (volatility drag), wynikający z wyrazu −σ²/2, sprawia, że zmienny instrument z dodatnią oczekiwaną stopą zwrotu może wciąż rozczarować typowego inwestora.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest geometryczny ruch Browna?
Geometryczny ruch Browna (GBM) to ciągły w czasie proces stochastyczny, w którym proporcjonalna zmiana wartości jest napędzana stałym dryfem oraz losowym szumem Browna, zapisywanym jako dS = μS·dt + σS·dW. Ponieważ zmiana skaluje się z bieżącą ceną, cena pozostaje dodatnia, a jej logarytm ma rozkład normalny. Jest to standardowy model cen akcji i podstawa formuły wyceny opcji Blacka-Scholesa.
Jak symulacja generuje każdą trajektorię ceny?
Dzieli horyzont czasowy T na 252 kroki na rok i w każdym kroku stosuje dokładne rozwiązanie dyskretne S(t) = S₀·exp((μ − σ²/2)·dt + σ·√dt·Z), gdzie Z jest standardową zmienną losową o rozkładzie normalnym, generowaną metodą przekształcenia Boxa-Mullera. Każda trajektoria zaczyna się od S₀ = 100, a N takich niezależnych trajektorii jest obliczanych z wyprzedzeniem, zanim zostaną zanimowane na wykresie.
Co kontrolują suwaki dryfu μ i zmienności σ?
Dryf μ to oczekiwana roczna stopa zwrotu, która przechyla ogólny trend: wartości dodatnie pchają większość trajektorii w górę (hossa), a wartości ujemne ciągną je w dół (bessa). Zmienność σ to roczne odchylenie standardowe stóp zwrotu, które określa, jak szeroko rozchodzą się trajektorie — większa wartość σ daje szerszy, bardziej niepewny rozrzut cen końcowych.
Czy GBM jest fizycznie dokładnym modelem realnych rynków?
To użyteczne przybliżenie, a nie dokładny opis rzeczywistości. GBM zakłada stałe μ i σ oraz ciągłe trajektorie, ale realne rynki wykazują zmienną zmienność (tzw. uśmiech zmienności), nagłe skoki cen i grubsze ogony rozkładu niż pozwala na to rozkład logarytmiczno-normalny. Praktycy rozszerzają ten model o modele zmienności stochastycznej, takie jak model Hestona, lub modele dyfuzji ze skokami (jump-diffusion), aby uchwycić te efekty.
Dlaczego linia średniej znajduje się powyżej większości trajektorii?
Rozkład logarytmiczno-normalny cen w modelu GBM jest prawostronnie skośny, więc jego średnia E[S] = S₀·e^(μt) jest podciągana w górę przez kilka dużych wyników i przewyższa medianę. Wyraz −σ²/2 w wykładniku, znany jako opór zmienności (volatility drag), obniża typową trajektorię nawet wtedy, gdy wartość oczekiwana rośnie — dlatego przerywana linia średniej może znajdować się powyżej większości trajektorii.
Symulator ceny akcji oparty na geometrycznym ruchu Browna. 20 trajektorii cen z regulowanym dryfem μ i zmiennością σ. Histogram logarytmiczno-normalny ceny końcowej.
2D · Canvas 2D renderer · 60 FPS target · runs fully client-side, no install