PL 
EnglishDomyślny
Українська♟️ Równowaga Nasha — matematyka strategii
W równowadze Nasha żaden gracz nie zyska, zmieniając strategię w pojedynkę. Poznaj macierze wypłat, dynamikę najlepszych odpowiedzi i strategie mieszane w klasycznych grach dwuosobowych.
Podobne symulacje
O tej symulacji
To narzędzie pozwala zbudować macierz wypłat 2×2 (tabelę przedstawiającą nagrodę każdego gracza za każdą parę wyborów strategii) dla dwóch graczy i obserwować przebieg gry. Podkreśla najlepszą odpowiedź każdego gracza (strategię maksymalizującą jego wypłatę przy danym wyborze przeciwnika) w każdej komórce, oznacza ramką każdą komórkę, w której obaj gracze jednocześnie stosują najlepszą odpowiedź — czystą równowagę Nasha — oraz rozwiązuje równania obojętności dla równowagi w strategiach mieszanych, w której każdy gracz losuje między strategiami z określonym prawdopodobieństwem. Animowany token odtwarza następnie dynamikę najlepszych odpowiedzi: gracze na przemian przełączają się na to, co aktualnie jest ich najlepszym ruchem, dzięki czemu można obserwować, jak gra zbiega do równowagi albo krąży w nieskończoność.
🔬 Co przedstawia
Macierz wypłat 2x2, gdzie wypłata gracza wierszy pokazana jest w lewym górnym rogu (na zielono, gdy jest najlepszą odpowiedzią), a wypłata gracza kolumn w prawym dolnym rogu (na niebiesko, gdy jest najlepszą odpowiedzią) w każdej komórce. Komórki oznaczone ramką to czyste równowagi Nasha. Drugi widok, „Korespondencja najlepszych odpowiedzi”, rysuje krzywe najlepszych odpowiedzi obu graczy w przestrzeni prawdopodobieństw (p, q), zaznaczając miejsce ich przecięcia.
🎮 Jak korzystać
Wybierz klasyczną grę z listy rozwijanej (Dylemat więźnia, Polowanie na jelenia, Bitwa płci, Tchórz, Parzyste-Nieparzyste) albo wpisz własne wypłaty w czterech polach „wiersz,kolumna” — możesz też kliknąć komórkę na płótnie, by edytować ją bezpośrednio. Suwak Prędkość steruje tempem poruszania się tokenu najlepszej odpowiedzi; Widok przełącza między macierzą a wykresem korespondencji; Pauza/Start, Krok i Reset sterują animacją.
💡 Czy wiesz, że?
Dowód istnienia Johna Nasha z 1950 roku, liczący zaledwie stronę, opiera się na twierdzeniu Kakutaniego o punkcie stałym, by wykazać, że każda skończona gra ma co najmniej jedną równowagę (możliwie mieszaną). Parzyste-Nieparzyste, dostępne tu jako ustawienie predefiniowane, w ogóle nie ma czystej równowagi — jedynie mieszaną przy p = q = 0,5, co jest dokładnie powodem, dla którego token najlepszej odpowiedzi nigdy się nie ustala, tylko wciąż krąży.
Najczęściej zadawane pytania
Jak symulacja decyduje, która wypłata jest „najlepszą odpowiedzią”?
Dla każdej kolumny kod porównuje dwie wypłaty gracza wierszy w tej kolumnie i zaznacza wyższą (rowBRset); dla każdego wiersza porównuje dwie wypłaty gracza kolumn w tym wierszu (colBRset). Jeśli obie liczby w porównaniu są równe, obie strategie są traktowane jako remisowe najlepsze odpowiedzi. Komórka jest oznaczona jako czysta równowaga Nasha tylko wtedy, gdy wypłata wiersza jest najlepszą odpowiedzią w swojej kolumnie ORAZ wypłata kolumny jest najlepszą odpowiedzią w swoim wierszu jednocześnie.
Jak obliczana jest równowaga w strategiach mieszanych (p, q)?
Symulacja rozwiązuje warunki obojętności bezpośrednio na podstawie liczb wypłat. Wyznacza p (prawdopodobieństwo, że gracz wierszy gra swoją pierwszą strategię) tak, aby gracz kolumn był obojętny między swoimi dwiema opcjami, oraz q (prawdopodobieństwo, że gracz kolumn gra swoją pierwszą strategię) tak, aby gracz wierszy był obojętny. Algebraicznie p = (d22-d21)/(d11-d12-d21+d22) na podstawie wypłat gracza kolumn, a q to lustrzany wzór oparty na wypłatach gracza wierszy. Jeśli którykolwiek mianownik wynosi zero lub wynik wykracza poza [0,1], nie istnieje ważna równowaga mieszana i statystyka pokazuje kreskę.
Dlaczego token nadal się porusza nawet po znalezieniu czystej równowagi?
Dynamika najlepszych odpowiedzi w tej symulacji jest ustalonym procesem naprzemiennym: w każdym kroku gracz wierszy (lub gracz kolumn, na przemian) przeskakuje do swojej aktualnej najlepszej odpowiedzi, niezależnie od tego, czy wynikowa komórka jest równowagą. Gdy token wyląduje na oznaczonej komórce, najlepsze odpowiedzi obu graczy wskazują z powrotem na tę samą komórkę, więc token po prostu wciąż tam ląduje krok po kroku — wygląda na nieruchomy, bo faktycznie taki jest, ale pętla nigdy jawnie się nie „zatrzymuje”.
Dlaczego gra w Parzyste-Nieparzyste nigdy się nie ustala?
W grze Parzyste-Nieparzyste w każdej komórce dokładnie jeden gracz chce się przełączyć, więc w tym ustawieniu w ogóle nie ma czystej równowagi Nasha. Dynamika najlepszych odpowiedzi krąży więc przez wszystkie cztery komórki (Orzeł,Orzeł) → (Orzeł,Reszka) → (Reszka,Reszka) → (Reszka,Orzeł) → z powrotem do początku, w nieskończoność. Jedyną równowagą jest ta mieszana przy p = q = 0,5, widoczna jako żółta kropka w środku widoku korespondencji, na którą naprzemienna dynamika czystych strategii nigdy nie może faktycznie trafić.
Co dokładnie przedstawia widok „Korespondencja najlepszych odpowiedzi”?
Rysuje p (prawdopodobieństwo, że wiersz gra swoją pierwszą strategię) względem q (prawdopodobieństwo, że kolumna gra swoją pierwszą strategię) na jednostkowym kwadracie. Zielona krzywa to najlepsza odpowiedź gracza wierszy p*(q) dla każdego możliwego q, a niebieska krzywa to najlepsza odpowiedź gracza kolumn q*(p) dla każdego możliwego p, obie obliczone bezpośrednio ze wzorów na oczekiwaną wypłatę w kodzie. Niebieskie kropki oznaczają czyste równowagi w narożnikach kwadratu; żółta kropka oznacza równowagę mieszaną tam, gdzie obie krzywe faktycznie przecinają się wewnątrz kwadratu.