💧 Koło wodne Lorenza

To koło z pierścieniem wiaderek, z których każde ma mały otwór. Woda kapie na wiaderko aktualnie znajdujące się na górze ze stałej dyszy, a każde wiaderko nieprzerwanie traci wodę proporcjonalnie do tego, jak jest pełne. Grawitacja mocniej ciągnie cięższą, bardziej mokrą stronę koła, tworząc moment obrotowy; jeśli dopływ jest wystarczająco szybki względem tempa wycieku i tarcia, koło przyspiesza, ale przesuwający się ciężar może je też spowolnić, zatrzymać i odwrócić.

Malkus i Howard pokazali w latach 70. XX wieku, że jeśli zapiszemy prawo Newtona dla prędkości kątowej koła razem z rozkładem Fouriera rozkładu wody wokół obwodu, pierwsze trzy współczynniki spełniają równania tej samej postaci co dx/dt = σ(y−x), dy/dt = x(r−z)−y, dz/dt = xy−bz. Tutaj x jest proporcjonalne do tempa obrotu koła, y i z opisują, jak masa wody jest rozłożona wokół koła, a σ, r, b są kombinacjami fizycznego tempa kapania, tempa wycieku, momentu bezwładności i tarcia.

Odwrócenie następuje, ponieważ rozkład wody może stać się na tyle asymetryczny, że cięższa strona przechodzi przez górę, zanim się opróżni, odwracając, którą stronę faworyzuje grawitacja. W reżimie chaotycznym (domyślny preset, r = 28) dzieje się to w pozornie losowych odstępach, ponieważ trajektoria odbija się między dwoma „skrzydłami” atraktora Lorenza, a drobne różnice w dokładnym momencie przejścia decydują, czy odwrócenie nastąpi wcześniej, czy później.

σ (sigma) ustawia, jak szybko obrót koła reaguje na nierównowagę w rozkładzie wody — fizycznie związane ze stosunkiem tłumienia pędu do redystrybucji wody. r (parametr podobny do liczby Rayleigha) skaluje się z tempem kapania/wycieku i określa, ile energii napędzającej jest dostępne; niskie r ustala się w punkcie stałym lub łagodnej spirali, podczas gdy r powyżej mniej więcej 24,7 (przy domyślnym b) daje chaotyczny, odwracający się reżim. b wiąże tempo wycieku z tłumieniem koła i kształtuje, jak szybko woda redystrybuuje się w miarę obrotu koła.

Pod względem leżących u podstaw liczb — tak, ta sama całkowana metodą RK4 trajektoria x, y, z napędza zarówno animację koła, jak i portret fazowy, więc oba panele są dwoma widokami jednego chaotycznego układu. Wartość widoku koła wodnego tkwi w intuicji: zamienia abstrakcyjne trójzmienne równanie różniczkowe w namacalny mechanizm (kapiąca woda, nieszczelne wiaderka, obracające się koło), dzięki czemu przyczyna nieprzewidywalnych odwróceń kierunku jest łatwiejsza do dostrzeżenia niż w samym abstrakcyjnym wykresie x-y-z.