PL 
EnglishDomyślny
Українська🎲 Kości i prawdopodobieństwo
Rzuć n kośćmi i patrz, jak rozkład sumy zbliża się do gaussowskiego (centralne twierdzenie graniczne). Porównuje dokładny splot PMF, histogram empiryczny i szanse zakładów kasynowych z wartościami oczekiwanymi.
O symulatorze kości i prawdopodobieństwa
Ten symulator pokazuje, jak rozkłada się suma n kości, z których każda ma s jednakowo prawdopodobnych ścianek. Dokładna funkcja masy prawdopodobieństwa to n-krotny splot rozkładu jednostajnego pojedynczej kości, obliczany tutaj przez zliczanie współczynników rozwinięcia wielomianu. Im więcej kości dodajemy, tym bardziej ten dyskretny rozkład zwęża się względnie i zbliża do gładkiej krzywej dzwonowej — praktyczne potwierdzenie centralnego twierdzenia granicznego.
Suwaki ustawiają liczbę kości (od 1 do 10), liczbę ścianek na kość (od d2 do d20) oraz prędkość auto-rzutu w rzutach na sekundę. Przyciski rzutu dodają 1, 100 lub 10 000 losowych wyników, budując empiryczny histogram obok dokładnych czerwonych słupków, żółtej dokładnej PMF i opcjonalnej cyjanowej krzywej Gaussa. Ta sama matematyka splotu leży u podstaw kursów kasynowych, modelowania ryzyka i każdej sumy niezależnych wielkości losowych — dlatego kości są klasycznym narzędziem dydaktycznym.
Najczęściej zadawane pytania
Co dokładnie oblicza ten symulator?
Oblicza prawdopodobieństwo każdej możliwej sumy przy rzucie n kośćmi o s ściankach. Rysuje dokładny rozkład teoretyczny, empiryczny histogram z symulowanych rzutów oraz dopasowaną krzywą Gaussa, dzięki czemu można porównać teorię z eksperymentem obok siebie.
Jaka jest średnia i wariancja sumy?
Pojedyncza uczciwa kość ma średnią (s+1)/2 i wariancję (s do kwadratu minus 1)/12. Z liniowości wynika, że suma n kości ma średnią n razy (s+1)/2 i wariancję n razy (s do kwadratu minus 1)/12. Dla dwóch zwykłych sześciennych kości daje to średnią 7 i wariancję około 5,83.
Jak obliczany jest dokładny rozkład?
Rozkład pojedynczej kości jest jednostajny na jej ściankach. Symulator wielokrotnie splata ten rozkład z samym sobą — raz na każdą dodatkową kość — dzięki czemu otrzymujemy dokładną liczbę sposobów uzyskania każdej sumy, bez konieczności symulowania ani jednego rzutu.
Dlaczego rozkład sumy zbliża się do krzywej dzwonowej?
To bezpośrednia konsekwencja centralnego twierdzenia granicznego: suma wielu niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie zbliża się do rozkładu normalnego, niezależnie od kształtu rozkładu pojedynczej zmiennej. Już przy kilku kościach podobieństwo do krzywej Gaussa jest wyraźnie widoczne.
Czym różni się histogram empiryczny od dokładnej PMF?
Dokładna PMF (żółte słupki) to matematycznie wyliczone prawdopodobieństwo każdej sumy. Histogram empiryczny (czerwone słupki) pokazuje częstość wyników z faktycznie zasymulowanych rzutów — im więcej rzutów wykonasz, tym bardziej histogram powinien zbliżyć się do dokładnej PMF, zgodnie z prawem wielkich liczb.