📐 Compass & Straightedge Constructions

📐 Co przedstawia

Konstrukcja cyrklem i linijką to figura zbudowana za pomocą tylko dwóch wyidealizowanych narzędzi, w tradycji ustanowionej przez Euklidesa około 300 r. p.n.e.: cyrkla zapadającego się (potrafi narysować okrąg o danym promieniu wyśrodkowany w danym punkcie, ale nie „pamięta” promienia po podniesieniu z kartki — choć można wykazać, że cyrkiel zapadający się i nowoczesny cyrkiel o stałym promieniu są równie potężne) oraz linijki bez podziałki (rysuje nieskończoną prostą przez dwa punkty, ale nie ma żadnych oznaczeń pomiarowych). Wszystko, co widzisz zanimowane na tej stronie — symetralna odcinka, dwusieczna kąta, sześciokąt foremny i pięciokąt foremny — jest zbudowane wyłącznie z tych dwóch ruchów, powtarzanych: narysuj okrąg, narysuj prostą i zaznacz punkty, w których przecinają się istniejące okręgi i proste. Każdy punkt przecięcia na tej stronie jest obliczany za pomocą prawdziwych wzorów na przecięcie okrąg–okrąg i prosta–okrąg, a nie zakodowanych na sztywno współrzędnych, więc konstrukcje są geometrycznie dokładne.

Nie wszystko da się skonstruować w ten sposób, i jest to jeden z najsłynniejszych wyników w matematyce. Trzy klasyczne problemy starożytności — podwojenie sześcianu (skonstruowanie sześcianu o dwukrotnie większej objętości od danego sześcianu), trysekcja dowolnego kąta oraz kwadratura koła (skonstruowanie kwadratu o polu równym polu danego koła) — opierały się konstrukcji przez ponad dwa tysiące lat, a wszystkie trzy zostały ostatecznie udowodnione jako niemożliwe. Pierre Wantzel udowodnił w 1837 roku, za pomocą argumentów dotyczących stopnia rozszerzeń ciał, że podwojenia sześcianu i trysekcji dowolnego kąta nie da się wykonać wyłącznie cyrklem i linijką. Kwadratura koła została udowodniona jako niemożliwa jeszcze później, w 1882 roku, gdy Ferdinand von Lindemann wykazał, że π jest liczbą przestępną (nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych), co wyklucza skonstruowanie odcinka o długości √π z odcinka jednostkowego.

Powód leży w algebrze: każdy punkt, który można osiągnąć cyrklem i linijką, zaczynając od dwóch danych punktów, ma współrzędne leżące w wieży rozszerzeń kwadratowych liczb wymiernych — każdy nowy krok konstrukcji w najgorszym razie wymaga wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego z wcześniej skonstruowanej wielkości, ponieważ przecinanie prostych i okręgów wymaga jedynie rozwiązywania równań liniowych lub kwadratowych. Długość jest więc konstruowalna tylko wtedy, gdy można ją osiągnąć z liczb wymiernych skończonym łańcuchem kroków, z których każdy dołącza co najwyżej pierwiastek kwadratowy. Trysekcja kąta 60° w ogólności wymagałaby skonstruowania cos(20°), który jest pierwiastkiem nierozkładalnego wielomianu sześciennego 4x³ − 3x − 1 = 0 — rozszerzenia stopnia 3 liczb wymiernych, które nigdy nie zmieści się w wieży zbudowanej wyłącznie z pierwiastków kwadratowych (których stopnie są zawsze potęgami 2). Dlatego żadna pomysłowość z linijką bez podziałki i cyrklem zapadającym się nie potrafi dokładnie trysekcjonować dowolnego kąta.

Cztery konstrukcje animowane na tej stronie — symetralna odcinka, dwusieczna kąta, wpisanie sześciokąta foremnego i wpisanie pięciokąta foremnego metodą Richmonda — są natomiast wszystkie rzeczywiście konstruowalne, ponieważ n-kąt foremny jest konstruowalny dokładnie wtedy, gdy n rozkłada się jako potęga 2 razy iloczyn różnych liczb pierwszych Fermata (3, 5, 17, 257, 65537…); zarówno 6 = 2×3, jak i 5 spełniają ten warunek, dlatego sześciokąty i pięciokąty konstruowane cyrklem i linijką są znane od starożytności.

Jak korzystać

• Wybierz konstrukcję z listy rozwijanej: symetralną odcinka, dwusieczną kąta, sześciokąt foremny lub pięciokąt foremny Richmonda.
• Przeciągnij suwak Krok, aby przechodzić w przód lub w tył przez konstrukcję, jeden ruch cyrklem lub linijką na raz.
• Naciśnij Odtwórz, aby automatycznie przechodzić przez każdy krok na zegarze; naciśnij ponownie, aby wstrzymać.
• Przełącz Pokaż etykiety kroków, aby wyświetlić lub ukryć adnotację na płótnie wyjaśniającą ostatni ruch.
• Naciśnij Reset, aby wrócić do kroku 0 i zacząć od nowa.

Czy wiesz, że?

Carl Friedrich Gauss, w wieku 19 lat w 1796 roku, udowodnił, że siedemnastokąt foremny (heptadekagon) jest konstruowalny cyrklem i linijką — pierwszy postęp w tym problemie od czasów starożytności — i podobno był z tego tak dumny, że poprosił, aby foremny siedemnastokąt wyryto na jego nagrobku (kamieniarz odmówił, mówiąc, że wyglądałoby to zbyt podobnie do koła). Pełną odpowiedź, że n-kąt foremny jest konstruowalny dokładnie wtedy, gdy n jest potęgą 2 razy iloczyn różnych liczb pierwszych Fermata, dokończył Pierre Wantzel w 1837 roku — w tej samej pracy, w której udowodnił niemożliwość trysekcji kąta i podwojenia sześcianu. Obecnie znanych jest tylko pięć liczb pierwszych Fermata (3, 5, 17, 257, 65537), więc nadal nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele konstruowalnych wielokątów foremnych o nieparzystej liczbie boków.

O tej symulacji

Ten symulator animuje cztery klasyczne konstrukcje cyrklem i linijką na płótnie 2D, obliczając każdy okrąg, prostą i przecięcie za pomocą prawdziwych wzorów geometrycznych — nic nie jest z góry zapisane na sztywno. Wyjaśnia też szczerze, które klasyczne problemy (podwojenie sześcianu, trysekcja dowolnego kąta, kwadratura koła) zostały udowodnione jako niemożliwe tymi narzędziami i dlaczego pokazane tu sześciokąt i pięciokąt nie należą do nich.

Najczęściej zadawane pytania