Серединний перпендикуляр · Бісектриса кута · Правильний шестикутник · Правильний п'ятикутник Річмонда — анімовано крок за кроком
Побудова циркулем і лінійкою — це фігура, побудована з використанням лише двох ідеалізованих інструментів, за традицією, встановленою Евклідом близько 300 р. до н.е.: складного циркуля (він може накреслити коло заданого радіуса з центром у заданій точці, але не "пам'ятає" радіус після того, як його підняли з паперу — хоча можна показати, що складний циркуль і сучасний циркуль із фіксованим радіусом однаково потужні) і немаркованої лінійки (вона креслить нескінченну пряму через дві точки, але не має вимірювальних поділок). Усе, що анімовано на цій сторінці — серединний перпендикуляр, бісектриса кута, правильний шестикутник і правильний п'ятикутник — побудовано саме з цих двох дій, повторюваних: накреслити коло, накреслити пряму й позначити точки, де існуючі кола та прямі перетинаються. Кожна точка перетину на цій сторінці обчислюється за реальними формулами перетину кіл і кола-прямої, а не за жорстко закодованими координатами, тож побудови геометрично точні.
Не все можна побудувати таким способом, і це один з найзнаменитіших результатів у математиці. Три класичні задачі античності — подвоєння куба (побудова куба з удвічі більшим об'ємом за заданий куб), трисекція довільного кута та квадратура кола (побудова квадрата з такою самою площею, як у заданого кола) — усі опиралися побудові понад дві тисячі років, і всі три врешті було доведено неможливими. П'єр Вантцель довів у 1837 році, використовуючи аргументи про степінь розширення поля, що подвоєння куба та трисекція довільного кута лише циркулем і лінійкою неможливі. Квадратура кола була доведена неможливою ще пізніше, у 1882 році, коли Фердинанд фон Ліндеман показав, що π є трансцендентним числом (не коренем жодного многочлена з раціональними коефіцієнтами), що виключає побудову довжини √π з одиничної довжини.
Основна причина алгебраїчна: кожна точка, яку можна досягти циркулем і лінійкою, починаючи з двох заданих точок, має координати, що лежать у вежі квадратичних розширень раціональних чисел — кожен новий крок побудови в гіршому випадку бере квадратний корінь із раніше побудованої величини, оскільки перетин прямих і кіл завжди зводиться лише до розв'язування лінійних чи квадратних рівнянь. Тож довжина є конструктивною лише якщо її можна досягти з раціональних чисел скінченним ланцюжком кроків, кожен з яких приєднує щонайбільше квадратний корінь. Трисекція кута 60° загалом вимагала б побудови cos(20°), який є коренем незвідного кубічного рівняння 4x³ − 3x − 1 = 0 — розширення раціональних чисел степеня 3, яке ніколи не може вміститися у вежу, побудовану суто з квадратних коренів (степені яких завжди є степенями двійки). Ось чому жодна винахідливість із немаркованою лінійкою та складним циркулем не може точно трисектувати довільний кут.
Карл Фрідріх Гаусс у віці 19 років у 1796 році довів, що правильний 17-кутник (гептадекагон) можна побудувати циркулем і лінійкою — перший прогрес у цій задачі з часів античності — і, за переказами, так пишався цим, що просив вигравіювати правильний 17-кутник на своєму надгробку (каменяр відмовився, кажучи, що це виглядатиме занадто схожим на коло). Повну відповідь — що правильний n-кутник можна побудувати точно тоді, коли n є степенем двійки, помноженим на добуток різних простих чисел Ферма — завершив П'єр Вантцель у 1837 році — у тій самій статті, де він довів неможливість трисекції кута та подвоєння куба. Наразі відомо лише п'ять простих чисел Ферма (3, 5, 17, 257, 65537), тож досі невідомо, чи існує нескінченно багато конструктивних правильних многокутників з непарною кількістю сторін.
Цей симулятор анімує чотири класичні побудови циркулем і лінійкою на 2D канві, обчислюючи кожне коло, пряму й перетин за реальними геометричними формулами — нічого не заготовлено заздалегідь. Він також чесно пояснює, які класичні задачі (подвоєння куба, трисекція довільного кута, квадратура кола) було доведено неможливими цими інструментами, і чому шестикутник і п'ятикутник, показані тут, не належать до них.
Чотири побудови: серединний перпендикуляр відрізка, бісектриса кута, правильний шестикутник, вписаний у коло, та правильний п'ятикутник, побудований методом Річмонда. Кожна розбита на окремі рухи циркуля/лінійки, і кожне нове коло, пряма та точка перетину обчислюються за стандартними формулами перетину кіл і кола-прямої.
Виберіть побудову з випадаючого списку, потім або перетягніть повзунок Крок, або натисніть Відтворити, щоб спостерігати, як вона розгортається рух за рухом. Поточний крок малюється яскраво-зеленим, тоді як попередні кроки згасають до приглушеного тону. Перемикайте підписи кроків та використовуйте Скинути, щоб почати заново.
Гаусс довів конструктивність правильного 17-кутника в 1796 році у віці 19 років. Вантцель завершив теорію конструктивних многокутників — і окремо довів неможливість трисекції кута та подвоєння куба — в одній статті 1837 року.
Дозволено лише два рухи: накреслити коло з центром в одній вже побудованій точці, що проходить через іншу, і накреслити нескінченну пряму через дві вже побудовані точки. Нові точки створюються лише там, де такі кола та прямі перетинаються. Лінійка не має поділок, а циркуль не використовується для перенесення виміряної відстані, окрім як через фактично накреслене коло.
Ні. П'єр Вантцель довів у 1837 році, що трисекція довільного кута лише немаркованою лінійкою та циркулем загалом неможлива. Трисекція 60°, наприклад, вимагала б побудови cos(20°) — кореня незвідного кубічного рівняння 4x³ − 3x − 1 = 0, а конструктивні числа можуть походити лише з веж квадратно-кореневих (степеня 2) розширень раціональних чисел, ніколи справжнього кубічного кореня такого типу. Деякі особливі кути (наприклад, 90°) можна трисектувати, але загального методу не існує.
Так. Побудова квадрата з такою самою площею, як у заданого кола радіуса 1, вимагає побудови відрізка довжиною √π. Фердинанд фон Ліндеман довів у 1882 році, що π трансцендентне — не є коренем жодного многочлена з раціональними коефіцієнтами — а кожне число, конструктивне циркулем і лінійкою, має бути алгебраїчним (фактично обмеженим вежами квадратно-кореневих розширень), тож √π побудувати неможливо.
Гаусс і Вантцель показали, що правильний n-кутник конструктивний точно тоді, коли n є степенем двійки, помноженим на будь-яку кількість різних простих чисел Ферма (3, 5, 17, 257, 65537). Оскільки 6 = 2 × 3, а 5 саме є простим числом Ферма, і правильний шестикутник, і правильний п'ятикутник задовольняють цю умову, тому чіткі класичні побудови для них, як-от побудова Річмонда для п'ятикутника, використана тут, існують з часів античності.
Кожен перетин кіл використовує стандартну формулу на основі відстані між центрами та двома радіусами (розв'язуючи для радикальної лінії та перпендикулярного зміщення), а кожен перетин прямої й кола знаходиться підстановкою параметричного рівняння прямої в рівняння кола та розв'язуванням отриманого квадратного рівняння. Жодні координати не жорстко закодовані; вони перераховуються наживо з визначальних точок і радіусів побудови.