Czworościan ścięty · Sześcio-ośmiościan · Sześcian ścięty · Ośmiościan ścięty · Dwudziesto-dwunastościan
Przeciągnij płótno, aby obracać ręcznie.
Bryły Archimedesowe to 13 wypukłych, półforemnych wielościanów: każda ściana jest wielokątem foremnym, ale (inaczej niż w bryłach Platońskich) w każdym wierzchołku spotykają się dwa lub więcej różnych typów wielokątów — a każdy wierzchołek jest otoczony identycznie (są jednorodne wierzchołkowo). Ten symulator generuje pięć z nich — czworościan ścięty, sześcio-ośmiościan, sześcian ścięty, ośmiościan ścięty i dwudziesto-dwunastościan — geometrycznie, poprzez odcinanie narożników odpowiadającej bryły Platońskiej (czworościanu, sześcianu lub ośmiościanu) płaszczyzną w każdym wierzchołku — proces nazywany ścinaniem wierzchołków.
Uwaga o dokładności: zastosowany tu współczynnik ścięcia jest stałą, uproszczoną wartością, a nie dokładnym współczynnikiem Archimedesowym potrzebnym do uzyskania idealnie foremnych ścian przy każdym cięciu. Powstałe kształty są topologicznie identyczne z prawdziwymi bryłami Archimedesowymi (te same liczby V, E, F, ten sam wzorzec sąsiedztwa ścian) i wizualnie bardzo zbliżone, ale ośmiokąty/sześciokąty są jedynie w przybliżeniu foremne. To celowe uproszczenie na potrzeby interaktywnej demonstracji geometrycznej, a nie precyzyjny model CAD.
Sześcio-ośmiościan powstaje przez ścięcie sześcianu dokładnie w połowie każdej krawędzi (tzw. „rektyfikacja") — ma taki sam układ wierzchołków niezależnie od tego, czy zaczniemy od sześcianu, czy od ośmiościanu, ponieważ te dwie bryły są bryłami dualnymi. Ośmiościan ścięty jest jedyną bryłą Archimedesową, która samodzielnie wypełnia przestrzeń 3D bez luk — kształt używany do modelowania najgęstszego możliwego upakowania pęcherzyków piany (hipoteza Kelvina). Kopuły geodezyjne Buckminstera Fullera oraz klasyczny wzór czarno-białych paneli piłki nożnej czerpią z Archimedesowych, półforemnych podziałów sfery.
Ten symulator buduje na żywo pięć brył Archimedesowych, odcinając narożniki bryły Platońskiej za pomocą ogólnego algorytmu ścinania wierzchołków napisanego specjalnie dla tej strony — bez zakodowanych na sztywno tabel współrzędnych. Każdy ścięty wierzchołek zostaje zastąpiony małym wielokątem, a każda pierwotna ściana odpowiednio się kurczy, dając tę samą strukturę kombinatoryczną (liczby wierzchołków/krawędzi/ścian), co prawdziwe bryły Archimedesowe.
Ścinanie wierzchołków zastosowane do czworościanu, sześcianu i ośmiościanu. Przy współczynniku ścięcia 50% przeciwległe cięcia spotykają się w połowie krawędzi, dając „zrektyfikowany" sześcio-ośmiościan i dwudziesto-dwunastościan; przy mniejszym współczynniku odrębne wielokąty narożne i skurczone pierwotne ściany dają formy ścięte.
Wybierz bryłę z listy rozwijanej. Włącz Auto-obrót i ustaw jego Prędkość albo przeciągnij, aby obracać ręcznie. Przełączaj Wypełnione ściany i Krawędzie (siatkę). Panel Statystyki na żywo pokazuje V, E, F i potwierdza wzór Eulera V − E + F = 2 dla każdej bryły, ponieważ wszystkie pozostają wypukłe.
Ośmiościan ścięty jest jedyną bryłą Archimedesową, która samodzielnie wypełnia przestrzeń 3D bez luk — fakt istotny dla geometrii piany i upakowania komórkowego (hipoteza Kelvina o komórkach wypełniających przestrzeń o minimalnej powierzchni).
Bryła Archimedesowa jest wypukła, ma jako ściany wyłącznie wielokąty foremne (dwóch lub więcej różnych typów) i wygląda identycznie z każdego wierzchołka — ten sam cykliczny ciąg wielokątów otacza każdy narożnik. Istnieje dokładnie 13 takich brył, plus dwie nieskończone rodziny graniastosłupów i antygraniastosłupów, które zwykle klasyfikuje się osobno.
Ścinanie odcina każdy narożnik wielościanu małą płaszczyzną, zastępując wierzchołek nowym wielokątem, którego liczba boków równa się liczbie krawędzi spotykających się w tym miejscu. Każda pierwotna ściana pozostaje, ale z odciętymi narożnikami, co efektywnie podwaja liczbę jej boków, chyba że cięcie sięga aż do połowy krawędzi.
Dokładne bryły Archimedesowe wymagają konkretnego współczynnika ścięcia, aby każda ściana była idealnie foremnym wielokątem. Ten symulator używa jednego, stałego, uproszczonego współczynnika dla przejrzystości procesu konstrukcji, więc ściany są zbliżone do foremnych, ale nie matematycznie dokładne — topologia (V, E, F i sąsiedztwo) pozostaje w pełni poprawna.
Obie bryły są „zrektyfikowane" — powstają przez ścięcie dokładnie do połowy każdej krawędzi. Sześcio-ośmiościan rektyfikuje sześcian (lub równoważnie ośmiościan, jego bryłę dualną), dając 8 trójkątów i 6 kwadratów. Dwudziesto-dwunastościan rektyfikuje dwudziestościan (lub dwunastościan), dając 20 trójkątów i 12 pięciokątów.
Tak. Każda bryła Archimedesowa jest wypukła, więc zawsze zachodzi V − E + F = 2, dokładnie tak jak w prostszych bryłach Platońskich. Ten symulator na nowo oblicza V, E i F na podstawie wygenerowanej siatki przy każdej zmianie bryły i wyświetla wynik na żywo.