🏗️ Ugięcie belki — symulator konstrukcyjny Eulera-Bernoulliego

Siła tnąca V w przekroju to wypadkowa siła poprzeczna po jednej stronie przecięcia, natomiast moment gnący M to wypadkowy moment obrotowy. Są one powiązane zależnością V = dM/dx: siła tnąca odpowiada nachyleniu wykresu momentu gnącego. Dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem centralnym siła tnąca jest stała i wynosi P/2 po każdej stronie, skokowo zmieniając się w punkcie przyłożenia obciążenia, natomiast moment gnący osiąga maksimum PL/4 w środku rozpiętości.

Symulator zawiera gotowe ustawienia dla drewna (E ≈ 12 GPa, I = 3000 cm⁴, typowa belka drewniana), stalowego dwuteownika (E = 200 GPa, I = 8000 cm⁴, standardowy przekrój 254 × 146 UB), żelbetu (E ≈ 30 GPa, I = 25000 cm⁴) oraz stopu aluminium (E = 70 GPa, I = 4000 cm⁴). Możesz też wprowadzić dowolną niestandardową kombinację E i I, aby modelować materiały kompozytowe lub egzotyczne.

Wspornik o tej samej rozpiętości i przekroju ugina się 16 razy bardziej niż belka swobodnie podparta pod tym samym obciążeniem centralnym: δ_cant = PL³/(3EI) w porównaniu do PL³/(48EI). Wynika to z faktu, że utwierdzony jest tylko jeden koniec, więc belka nie może rozłożyć reakcji między dwiema podporami. Wsporniki stosuje się tam, gdzie nie można umieścić słupów na jednym końcu, np. w balkonach, trampolinach do skoków oraz skrzydłach samolotów.

UDL (w kN/m) reprezentuje obciążenie rozłożone równomiernie wzdłuż belki, takie jak ciężar własny płyty stropowej, obciążenie śniegiem na dachu czy parcie wiatru na ścianę. Dla belki swobodnie podpartej pod UDL maksymalne ugięcie wynosi δ = 5wL⁴/(384EI) — występujące w środku rozpiętości — a maksymalny moment gnący wynosi M = wL²/8 w środku rozpiętości. Zależność od czwartej potęgi rozpiętości oznacza, że podwojenie rozpiętości zwiększa ugięcie 16-krotnie.

Przepisy budowlane zazwyczaj ograniczają ugięcie od obciążenia użytkowego do rozpiętość/360 (dla stropów) lub rozpiętość/180 (dla dachów), zapobiegając pękaniu tynkowych sufitów i dyskomfortowi użytkowników. Inżynierowie osiągają to, zwiększając moment bezwładności przekroju (głębsze belki), stosując materiały o wyższym module sprężystości, skracając efektywną rozpiętość dzięki słupom pośrednim lub projektując belki jako ciągłe zamiast swobodnie podpartych, co zmniejsza ugięcie o około 80%.

EI nazywana jest sztywnością giętną belki. Łączy sztywność materiału (E) z efektywnością geometryczną przekroju (I). Stalowy dwuteownik o E = 200 GPa i I = 8000 cm⁴ ma EI = 1600 MN·m². Zwiększenie EI to podstawowa dźwignia projektowa służąca zmniejszeniu ugięcia bez zmiany rozpiętości lub obciążenia. Sztywność EI/L³ wyświetlana w panelu daje intuicyjne wyobrażenie o tym, jak odporna jest belka na obciążenie centralne.

Oś obojętna to linia podłużna w przekroju poprzecznym, na której naprężenie zginające wynosi zero. Powyżej niej (po stronie ściskanej) materiał się skraca; poniżej (strona rozciągana) wydłuża się. Naprężenie zmienia się liniowo: σ = My/I, gdzie y to odległość od osi obojętnej, a M to lokalny moment gnący. Skrajne włókna przenoszą największe naprężenie, dlatego pęknięcia w belkach żelbetowych pojawiają się najpierw na powierzchni rozciąganej, gdzie beton jest najsłabszy.

Teoria Eulera-Bernoulliego jest bardzo dokładna dla smukłych belek, gdzie stosunek rozpiętości do wysokości przekracza około 10. Dla belek wysokich (rozpiętość/wysokość < 5) odkształcenie postaciowe od ścinania staje się istotne i należy zastosować teorię belki Timoshenki, która dodaje współczynnik korekcji ścinania κ. Belki cienkościenne i zakrzywione wymagają dalszych korekt. We wszystkich przypadkach teoria Eulera-Bernoulliego zawyża sztywność — czyli zaniża ugięcie — dla belek krępych.