Прогин балки — це деформація конструктивного елемента під дією прикладених навантажень, і це один із найфундаментальніших розрахунків у цивільному та механічному інженерії. Симулятор використовує теорію балки Ейлера-Бернуллі, яка припускає, що плоскі поперечні перерізи залишаються плоскими під час згину: EI d²y/dx² = M(x), де E — модуль Юнга, I — момент інерції перерізу, M(x) — розподіл згинального моменту. Зменшення прогину досягається збільшенням EI (вищі або жорсткіші балки) або скороченням прольоту.
Доступні три граничні умови: шарнірно-опорна (закріплена з двох боків), консоль (затиснута з одного кінця) і жорстко-жорстка (затиснута з обох кінців). Навантаження — зосереджена сила або рівномірно розподілена. Полотно в реальному часі відображає вигнуту форму балки, епюру згинального моменту та епюру поперечних сил.
Яка формула максимального прогину шарнірно-опорної балки з центральним зосередженим навантаженням?
Для шарнірно-опорної балки прольотом L, модулем Юнга E, моментом інерції I і центральним навантаженням P максимальний прогин у середині прольоту: δ = PL³/(48EI). При ексцентричному навантаженні в точці a від лівої опори (b = L − a): δ ≈ Pa²b²/(3EIL).
Як закріплення обох кінців балки зменшує прогин?
Жорстко-жорстка балка в 4 рази жорсткіша за шарнірно-опорну при центральному зосередженому навантаженні: δ = PL³/(192EI) проти PL³/(48EI). Опорні моменти на защемлених кінцях частково компенсують прикладене навантаження, вдвічі зменшуючи пікове значення згинального моменту.
Що таке момент інерції перерізу і як обрати ефективний переріз?
Момент інерції I характеризує розподіл матеріалу відносно нейтральної осі. Для суцільного прямокутника b × h: I = bh³/12. Двотавровий профіль (I-балка) досягає великого I при малій вазі, концентруючи матеріал у поличках. Збільшення висоти h удвічі збільшує I у 8 разів — саме тому стандартні сталеві двотаври з I ≈ 8000–30000 см⁴ є основою будівельних конструкцій.
Поперечна сила V у перерізі — це рівнодійна поперечних сил по один бік від розрізу, а згинальний момент M — сума моментів цих сил. Між ними існує зв'язок V = dM/dx. Для шарнірно-опорної балки з центральним навантаженням поперечна сила стала і рівна P/2 з кожного боку, а максимальний згинальний момент PL/4 — у середині прольоту.
Заготовлені набори параметрів включають деревину (E ≈ 12 ГПа, I = 3000 см⁴), сталеву двотаврову балку (E = 200 ГПа, I = 8000 см⁴), залізобетон (E ≈ 30 ГПа, I = 25000 см⁴) і алюмінієвий профіль (E = 70 ГПа, I = 4000 см⁴). Можна також ввести будь-яку комбінацію E та I для моделювання інших матеріалів.
Консоль з тим самим прольотом і перерізом прогинається в 16 разів більше, ніж шарнірно-опорна балка при однаковому центральному навантаженні: δконсоль = PL³/(3EI) проти PL³/(48EI). Це пов'язано з тим, що тільки один кінець закріплений, тобто балка не може розподіляти реакцію між двома опорами.
РРН (w кН/м) моделює навантаження, рівномірно розподілене вздовж балки: власна вага перекриття, снігове навантаження на покрівлю, тиск вітру на стіну. Для шарнірно-опорної балки під РРН максимальний прогин δ = 5wL⁴/(384EI) у середині прольоту. Залежність від четвертого ступеня прольоту означає, що подвоєння прольоту збільшує прогин у 16 разів.
Будівельні нормативи зазвичай обмежують прогин від змінного навантаження до прольоту/360 (для перекриттів) або прольоту/180 (для покрівель), щоб запобігти розтріскуванню штукатурки та дискомфорту для людей. Це досягається збільшенням моменту інерції перерізу, використанням жорсткіших матеріалів, скороченням прольоту чи проектуванням балок як нерозрізних.
EI — це жорсткість балки при вигині, яка поєднує жорсткість матеріалу (E) та геометричну ефективність перерізу (I). Сталева двотаврова балка з E = 200 ГПа та I = 8000 см⁴ має EI = 1600 МН·м². Жорсткість EI/L³, відображена в панелі, дає інтуїтивне розуміння опору балки центральному зосередженому навантаженню.
Нейтральна вісь — це лінія в перерізі, де напруга від вигину дорівнює нулю. Вище неї (стиснута зона) матеріал скорочується, нижче (розтягнута зона) — подовжується. Напруга змінюється лінійно: σ = My/I, де y — відстань від нейтральної осі. Тріщини в залізобетонних балках першими з'являються у розтягнутій зоні, де бетон найслабший.
Теорія Ейлера-Бернуллі є точною для стрункіх балок з відношенням прольоту до висоти понад 10. Для глибоких балок (прольот/висота < 5) деформація від зсуву стає суттєвою — у цьому разі слід використовувати теорію Тимошенка з поправочним коефіцієнтом на зсув. У всіх випадках теорія Ейлера-Бернуллі завищує жорсткість і недооцінює прогин для масивних елементів.